Гармоническая линеаризация. 
Теория автоматического управления. 
Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы

Структурную схему замкнутой нелинейной системы, состоящей из нелинейного звена (НЗ) и линейной части (ЛЧ) — линейного звена,.

Рис. 3.1. Типовая структурная схема нелинейной САУ.

будем называть типовой структурной схемой нелинейной системы (рис. 3.1). В этой главе будут рассматриваться нелинейные системы, структурные схемы которых могут быть преобразованы к типовой.

Пока примем, что задающее воздействие д = 0 (потом это ограничение снимем). Уравнения системы имеют вид.

Допустим, что в системе возникает периодический режим. Тогда нелинейная функция = f (e (t)) будет периодической функцией времени, и ее можно будет разложить в ряд Фурье:

где ао, 61, а — коэффициенты Фурье; и = 2п/Т; Т — период; многоточием обозначены высшие (вторые и более высокие) гармоники.

Коэффициенты Фурье определяются следующим образом (14]:

где t* — произвольная константа, или, если /(е) — однозначная нечетная функция, т. е. /(—в) = — /(е), то.

Предположим, что линейная часть обладает свойством фильтра низких частот, т. е. выполняется условие.

Проверить это условие, пока не определена частота периодического процесса, нельзя, и его перед началом исследования принимают как гипотезу. Поэтому это условие называют гипотезой фильтра.

При условии (3.3) высшие гармоники не оказывают существенного влияния на выходную величину у линейной части. Поэтому при определении у высшими гармониками можно пренебречь, и уравнение системы (3.1) представить в виде.

Если постоянное слагаемое в ряде Фурье ао = 0, то, учитывая тождество

где А = yja + 6f, у> = arcsin (ai/Ai), из уравнений (3.4) при установившемся режиме можно получить.

Здесь А = АW_n(jw), + arg W_n(jw).

Таким образом, если в системе (см. рис. 3.1) возникает периодический режим и линейная часть является фильтром низких частот, т. е. справедлива гипотеза фильтра, то колебания на выходе линейной части и соответственно на входе нелинейного звена являются гармоническими.

Выберем начало отсчета так, чтобы на входе нелинейного звена е = A s cut. Тогда имеем.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Подставив эти выражения в (3.4), при ао = 0 получим где или, если /(е) — однозначная нечетная функция,.

•Формулы (3.6) получены из формул для коэффициентов Фурье путем замены переменной тр = cut.

Система (3.5) при фиксированных амплитуде А и частоте си является линейной. Переход от исходной системы (3.1) к линеаризованной системе (3.5) называется гармонической линеаризацией. Коэффициенты q (A) и q'(A) называют коэффициентами гармонической линеаризации. Передаточную функцию (см. второе уравнение (3.5)).

называют передаточной функцией НЗ (нелинейного звена) и соответственно выражение.

которое получается при подстановке в передаточную функцию НЗ р — jou, называют частотной передаточной функцией НЗ. В соотношении (3.76) коэффициенты q{A) и q^/(A) представляют вещественную и мнимую части. Поэтому q (A) будем называть вещественным, a q'(A) — мнимым коэффициентами гармонической линеаризации.

Нелинейное звено после гармонической линеаризации представляется в виде линейного звена с передаточной функцией (3.7а), и структурная схема гармонически линеаризованной системы принимает вид, представленный на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Структурная схема гармонически линеаризованной системы.

Гармонически линеаризованные уравнения (3.5) были получены при условии, что постоянное слагаемое в разложении Фурье ао = 0 и задающее воздействие д = 0. При этом, как отмечалось, колебания на входе нелинейного звена имеют вид е = A smut, и они являются симметричными. Указанные колебания будут симметричными и приведенные выкладки справедливыми, если характеристика нелинейного звена будет симметричной относительно начала координат и установившаяся ошибка будет равна нулю. Как известно из теории линейных систем, при постоянном задающем воздействии установившая ошибка будет равна нулю, если система является астатической, т. е. линейная часть содержит интегрирующее звено. Иначе говоря, при симметричной относительно начала координат нелинейной характеристике условие симметричности колебаний совпадает с условием равенства нулю установившейся ошибки в системе без нелинейного звена.