Прямой метод Ляпунова исследования абсолютной устойчивости

А. И. Лурье предложил метод решения задачи абсолютной устойчивости, основанный на прямом методе Ляпунова. Идея его метода заключается в том, что для системы (5.1), (5.2) функция Ляпунова ищется в виде квадратичной формы плюс интеграл от нелинейной функции [23, 40]:

где В — положительно определенная матрица, q — произвольное положительное число. Нелинейности из класса, определяемого соотношением (5.2), удовлетворяют условию /(?)? ^ 0- Поэтому интеграл в рассматриваемой функции является неотрицательной функцией, а сама функция положительно определенной. И задача сводится к определению такой положительно определенной матрицы В и такой положительной константы q, при которых производная по времени V (x) в силу уравнений системы была бы отрицательно определенной и функция V (x) неограниченно возрастала бы при неограниченном увеличении |х|: V (x) оо при |х| —У оо. В соответствии с теоремой Барбашина-Красовского в случае стационарной системы достаточно, чтобы производная К (х) была отрицательно полуопределена и обращалась в нуль вне начала координат на множестве, не содержащем целых траекторий.

Здесь мы не будем рассматривать способ решения задачи абсолютной устойчивости прямым методом Ляпунова в общем случае. Для иллюстрации метода ограничимся решением частной задачи.

Пусть система описывается уравнениями.

где аь аг — положительные постоянные, а нелинейная функция удовлетворяет условию.

Запишем уравнение системы в нормальной форме, исключив переменные у и и:

Функцию Ляпунова будем искать в виде.

где 6, с — произвольные постоянные, q — произвольная положительная постоянная. Для того чтобы квадратичная форма в функции Ляпунова была положительно определена, постоянные 6, с по критерию Сильвестра должны удовлетворять условию с — 6² > 0. Найдем пооизволную по впемени VYxl в силу уоавнения системы:

Если положить 1 — Ьа — са, 2 — 0, или с = (1 — Ьа)/а, 2 и q = 2ск, то производная примет вид.

и она будет отрицательно определенной, если 6 > 0, cai — 6 > 0, или 0 < b < са. Подставив сюда выражение для с, получим 0 < 6 < < ai/(a² 4- аг). Функция V (x) будет положительно определенной, если с — Ь² > 0. Это условие всегда можно выполнить, выбрав 6 достаточно малым. Так как функция Ляпунова включает положительно определенную квадратичную форму, то она будет неограниченно возрастать при стремлении |х| к бесконечности. Следовательно, положение равновесия системы абсолютно устойчиво.