Критерий устойчивости М-матриц

Матрица D уравнения системы сравнения обладает специфическим свойством: все ее элементы, расположенные вне ее главной диагонали, являются неотрицательными. Такие матрицы, как отмечалось, называются М-матрицами.

Критерий Севастьянов а-Котелянского [16]. Если (п х п)-матрица С = (Cij) является М-матрицей, т. е. Cij ^ О (t, j = 1,2,…, n; i Ф j)_t то для того чтобы вещественные части всех ее собственных значений были отрицательны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Если вещественные части всех собственных значений квадратной матрицы отрицательны, то такая матрица называется устойчивой. Поэтому критерий Севастьянова-Котел янского является критерием устойчивости М-матриц. Соотношение (7.39) называют условием Севастьлнова-Котелянского [16].

Необходимое условие устойчивости М-матриц. Для того чтобы М-матрица С = (c_tJ) была устойчива, необходимо, чтобы все ее элементы главной диагонали были отрицательны', сц <0 {i — 1,2, …, п).

Пример 7.4. Исследовать устойчивость системы, состоящей из следующих грех подсистем:

Решение. В векторной форме приведенная система уравнений принимает следующий вид:

где Производная по времени функции V в силу уравнения подсистемы S имеет вид.

Если пренебречь взаимосвязями, то получим.

Для подсистемы S функцию Ляпунова будем искать в виде квадратичной формы.

Преобразуем и выразим производную V с помощью симметрической матрицы:

Второе слагаемое в полученном выражении равно нулю, так как.

Поэтому имеем.

Для того чтобы производная V была отрицательно определенной. согласно коитеоию Сильвестра необходимо и достаточно, чтобы.

Это неравенство будет выполнено, в частности, при aj = 1. При этом имеем.

Так как матрица В является диагональной, то ее собственные значения совпадают с диагональными элементами. И, следовательно, ее минимальное и максимальное собственные значения равны единице: А* = А^¹ = 1.

Найдем собственные значения матрицы С. Ее характеристическое уравнение имеет вид.

Корнями этого уравнения являются Ai = 2,9 и А2 = 33,1. Следовательно, минимальное и максимальное собственные значения матрицы С равны А^¹ = Ai = 2,9 и А$/ = А2 = 33,1.

Согласно теореме 7.3а имеем.

Для подсистемы S2 функцию Ляпунова будем искать в виде квадратичной формы.

Производная по времени функции V2 в силу уравнения подсистемы So имеет вид.

и является отрицательно определенной. При этом матрица В2 при.

нимает вид и ее минимальное и максимальное собственные значения равны А? = ½ И А* = 1.

Так как.

Для подсистемы 5з функцией Ляпунова является V3 = (а^³*)² = = (®|)². Действительно, производная от этой функции по времени в силу уравнения подсистемы 53 имеет вид.

и отрицательно определена. Функцию Ляпунова можно представить виде Vz = x^Bzx^ где Bz = 1. Собственное значение матрицы Bz равно единице, поэтому А^³ = 1, А^³ = 1. И так как производная V3 удовлетворяет неравенству.

Согласно формуле (7.36), чтобы определить элементы матрицы D системы сравнения, необходимо найти нормы матриц взаимосвязи Hij. В соответствии с утверждением 7.1 (см. (7.32)) евклидова норма матрицы Hij равна корню квадратному из максимального собственного значения произведения Hij = (Я^)^ТЯ^. Определим максимальные собственные значения матриц Я", (г, j = 1,2,3, i ф j):

По формуле (7.36) для элементов матрицы D находим:

Матрица D принимает следующий вид.

Матрица D является М-матрицей. Проверим выполнение критерия устойчивости, т. е. условия (7.39) для этой матрицы:

Критерий устойчивости выполняется. Следовательно, матрица D, или, что-то же, система сравнения, устойчива. По теореме 7.4 агрегированная система устойчива.