Локальная связь. 
Минимальная устойчивость

Рассмотрим многомерную систему, которая описывается уравнением.

или где W"(p) = С (Ip — А)~¹ В — (т х г)-матричная передаточная функция. Система содержит г нелинейностей f (?). Переменные? и и являются векторными функциями времени:? = ?(?), u = f (?(?)) = и (?).

Пусть задана вещественная квадратичная форма F ({, и, й) и множество нелинейных звеньев задается условием.

В квадратичной форме F (?, f, и) переменные ?, ?, и рассматриваются как независимые. В частном случае какие-либо переменные в квадратичную форму могут не входить. Тогда соответствующие переменные будем опускать. Соотношение (5.13) называют локальной связью (63].

О пределение 5.1. Если выполняется условие (5.13), то говорят, что функции ?(t) и u (t) удовлетворяют локальной связи с формой F (?,?, и).

Локальную связь (5.13) также будем записывать в виде.

Определение 5.2. Система (5.12а), или (5.126) называется минимально устойчивой в заданном классе нелинейностей (нелинейных звеньев), если она асимптотически устойчива в целом при какой-либо нелинейности f (?) из указанного класса.

Рассмотрим локальную связь (5.10):

в случае одномерной системы, т. е. при г = т = 1. Как было показано, эта локальная связь определяет тот же класс нелинейных звеньев, что и соотношение (5.9). Этому классу нелинейных звеньев принадлежат линейные звенья

Поэтому если система.

устойчива при каком-нибудь 7 € [а,/?], то нелинейная система (5.126) минимально устойчива в классе нелинейных звеньев, определяемых локальной связью (5.10).

Нелинейность, при которой будет устанавливаться минимальная устойчивость, будем называть нелинейностью сравнения, а саму систему при этой нелинейности — системой сравнения.

Часто нелинейность сравнения берется в виде? = 0. В этом случае система (5.126) минимально устойчива в класе функций с локальной связью (5.13), если F (f (?), ?(t), 0)^0 при любых? и линейная часть устойчива.