Условие устойчивости скользящего движения

Свойство (устойчивость и качество) скользящего движения в значительной степени зависит от плоскости скольжения $(х) = 0. При ее выборе нужно прежде всего позаботиться об устойчивости скользящего движения. Как уже отмечалось, в случае системы с переменной структурой (8.12), (8.19) в силу необходимости выполнения соотношения (8.20в) плоскость скольжения произвольно выбрать нельзя. Рассмотрим, при каких условиях скользящее движение указанной системы будет асимптотически устойчиво.

Теорема 8.1 ([56]). Для того чтобы скользящее движение системы (8.12), (8.19) на плоскости s (x) = с^тх = 0 (c_n = 1) было асимптотически устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения системы (8.12) при эквивалентном управлении, кроме корня с^Т^^п имели отрицательную вещественную часть.

Доказательство. Пусть уравнение, которое получается при подстановке в (8.12) эквивалентного управления, имеет вид.

Если в этом уравнении исключить переменную х", выразив ее через остальные фазовые переменные из уравнения $(х) = с^тх = 0, то получим уравнение скользящего движения. Поэтому чтобы доказать теорему, достаточно показать, что характеристическое уравнение системы (8.24) имеет один корень с⁷а^^п а остальные его корни совпадают с корнями характеристического уравнения скользящего движения.

Производная по времени функции $(х) в силу уравнения (8.12) имеет вид

Уравнение (8.12) в скалярной форме примет вид В этих уравнениях заменим переменную х_п на 5. Для этого исключим п— 1.

переменную ж_п, сделав подстановку х_п = s — ^cj^xj- Тогда получим.

Найдем эквивалентное управление. Для этого в уравнении (8.256) положим s = 0, s = 0 и разрешим его относительно управления:

Подставив это выражение для управления в (8.25), получим.

Введя обозначения 250.

последнюю систему можно записать в виде или.

Здесь 0_n_i — вектор-строка, состоящая из п — 1 нулей.

Характеристическое уравнение последней системы имеет вид.

где /_п_ 1 — единичная матрица порядка n — 1. Один корень этого уравнения равен с^та^^п а остальные корни находятся из уравнения

При s = 0 уравнение (8.27а) является уравнением скользящего движения, и его характеристическое уравнение совпадает с приведенным выше уравнением. Таким образом, один корень характеристического уравнения системы (8.27) равен Л = c^ra^ⁿ), а остальные корни равны корням характеристического уравнения скользящего движения. Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что корни характеристического уравнения системы (8.24) совпадают с корнями характеристического уравнения системы (8.28).

Уравнение (8.28) получается из уравнения (8.24) путем преобразования.

где 0^n₁ — нулевой вектор-столбец (п — 1)-го порядка. Матрица Т является неособой (det Т = 1) и собственные значения матриц D и С = T~^lDT совпадают. Теорема доказана.