Амплитудно-частотные методы анализа нелинейных цепей

Присутствие нелинейных элементов в цепи с синусоидальными источниками одной частоты приводит к изменению спектрального состава напряжения и тока, т. е. к появлению гармонических составляющих на других частотах. Это означает, что за счет нелинейностей вырабатываемая синусоидальным источником энергия распределяется в частотном диапазоне. Наличие резонансных контуров может привести к нежелательным для работы устройств режимам. Это обусловливает актуальность анализа процессов в нелинейных устройствах с использованием частотных подходов.

Метод гармонического баланса является распространенным подходом к анализу установившихся режимов в нелинейных цепях синусоидального тока. Суть метода состоит в представлении искомой переменной в форме суммы основной и высших гармонических составляющих с неизвестными амплитудами и начальными фазами. Предполагаемое решение подставляют в дифференциальное уравнение схемы и, приравнивая синусоидальные составляющие одинаковых частот, обеспечивают приближенное решение исходного дифференциального уравнения.

В качестве примера рассмотрим процедуру получения гармонического баланса в резонансном контуре с нелинейной индуктивностью (рис. 4.4, а).

При подключении контура к источнику синусоидального напряжения V (t) магнитный поток нелинейной индуктивности согласно соотношению и = бФ/dt также описывает синусоидальная зависимость от времени.

а 6.

Рис. 4.4. Нелинейная цепь (а), характеристика индуктивности (б)

Примем аппроксимацию характеристики нелинейной индуктивности (рис. 4.4, 6) зависимостью i_L = аФ. Тогда уравнение для тока i имеет вид.

Ограничившись третьей гармоникой, с учетом симметричности и нечетности нелинейной характеристики индуктивности представим предполагаемое решение в виде.

Подставив выражения заданного потока и искомого тока в дифференциальное уравнение, приравняв амплитуды синусных и косинусных составляющих одинаковых частот, получим следующую систему уравнений для вычисления искомых амплитуд и начальных фаз составляющих тока:

Решение приведенной системы уравнений дает.

В результате применение гармонического баланса позволило для установившегося режима свести нелинейное дифференциальное уравнение к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно амплитуд синусной и косинусной составляющих гармоник искомого решения.

Таким образом, метод гармонического баланса содержит следующие операции:

• • аналитическая аппроксимация характеристики нелинейного элемента;
• • представление искомой величины в форме конечного ряда

к

гармоник i{t) = Yj 04^sin&G)i? + Л^соя^со^); k=

• • формирование уравнения цепи;
• • подстановка решения в дифференциальное уравнение и получение системы нелинейных алгебраических уравнений относительно искомых амплитуд посредством приравнивания коэффициентов при составляющих гармоник с одинаковыми номерами k

• решение полученной системы нелинейных алгебраических уравнений.

Учет конечного числа гармоник обусловливает приближенный результат решения. К недостаткам метода следует отнести невозможность априорной оценки погрешности метода, связанную с ограничением числа составляющих гармоник в решении.

Метод эквивалентных синусоид можно интерпретировать как частный случай метода гармонического баланса при k =1. Замена реальных периодических несинусоидальных напряжений и токов их первыми гармониками (эквивалентными синусоидами) получила широкое распространение благодаря возможности применения для анализа нелинейных устройств эффективных частотных методов теории линейных электрических цепей и в том числе комплексных амплитуд. Суть метода заключается в выделении основной гармоники периодической кривой на выходе нелинейного элемента и применении комплексных амплитуд для расчета получившейся эквивалентной схемы.

Замену реальных периодических кривых эквивалентными синусоидами называют гармонической линеаризацией. Переход от эквивалентных синусоид к комплексным амплитудам означает использование для расчета схемы комплексных значений. Особенность заключается в том, что вследствие нелинейности комплексный коэффициент передачи получается зависящим от амплитуды воздействия.

Выполним гармоническую линеаризацию нелинейной индуктивности в схеме на рис. 4.4 при аппроксимации ее характеристики ij = кФ + аФ³. Синусоидальный поток Ф (?) = Ф₇«8тсоздает следующее выражение для основной гармоники тока: i_f (t) = [кФ_т + + (За/4)Ф³]8тсо?. Переход от синусоидальных функций к комплексным амплитудам приводит к соотношениям Ф,» = Ф_т и hm (j°*> Фт) ⁼ + (За/4)Ф³ ], с использованием которых совместно с соотношением U_m(jco) = /о)Ф"₇ = /соФ_/;, можно записать комплексную проводимость нелинейной индуктивности.

С использованием результатов гармонической линеаризации по эквивалентной схеме составим уравнения для комплексных амплитуд:

подстановка в которые полученных соотношений приводит к выражению для расчета комплексной амплитуды искомого тока.

Несомненно, что при увеличении сложности схемы и повышении порядка аппроксимирующего полинома трудность формирования и решения алгебраических уравнений с комплексными числами существенно возрастает. Результат в этом случае находят с помощью известных классических способов, например итерационных процедур.

Контрольные вопросы и задания

• 1. Какие характеристики используют для описания двухполюсных элементов нелинейных устройств? Приведите пример.
• 2. Укажите основные особенности расчета нелинейных электрических цепей по сравнению с линейными цепями.
• 3. Дайте определение входных и выходных характеристик биполярного транзистора.
• 4. В чем заключается основа расчета нелинейных цепей методом гармонического баланса?
• 5. Что подразумевает термин «гармоническая линеаризация»?