Методы синтеза систем управления

В данной главе рассматриваются различные методы синтеза систем управления: метод обратной задачи динамики, метод синтеза систем с переменной структурой, метод синтеза, основанный на построении функции Ляпунова, и метод синтеза, основанный на декомпозиции. Методы синтеза оптимальных и адаптивных систем будут рассмотрены в следующих главах.

Метод обратной задачи динамики

Обратными задачами динамики называют задачи определения сил, действующих на механическую систему, при которых движение с заданными свойствами является одним из возможных движений рассматриваемой системы [20). Если распространить это определение и на немеханические системы, понимая под силой всякое воздействие, вызывающее изменения в ее движениях, то задачу синтеза можно рассматривать как обратную задачу динамики.

Вкратце метод обратной задачи динамики был рассмотрен в первом томе. Как было отмечено в нем применительно к задачам управления, методом обратной задачи динамики будем называть метод синтеза систем, когда по заданным уравнениям объекта и требованиям к качеству системы управления определяется желаемое дифференциальное уравнение, решение которого удовлетворяет заданным требованиям, а затем из найденного уравнения выражается старшая производная и подстановкой ее вместо старшей производной в уравнение объекта находится требуемый закон управления. Такой метод был предложен Л. М. Бойчуком для определения структуры при синтезе нелинейных систем управления [11]. Широкому распространению этого метода способствовали работы Д. П. Крутько [35].

Дифференциальное уравнение, которое задается или определяется по заданным уравнениям объекта и требованиям к качеству синтезируемой системы управления и решение которого удовлетворяет заданным требованиям, будем называть эталонным (дифференциальным) уравнением.

Здесь на примерах рассмотрим некоторые способы решения задач синтеза алгоритмов управления, основанные на методе обратной задачи динамики.

Пример 8.1. Объект описывается уравнением.

Требуется определить закон управления, при котором синтезированная система описывается уравнением.

Решение. Из эталонного уравнения имеем.

Подставив это выражение для второй производной в уравнение объекта, получим

Как легко проверить, при таком законе управления уравнение синтезированной системы совпадает с эталонным.

В рассмотренном примере управление входит в уравнение объекта линейно. В таких случаях, если эталонное уравнение задано или определено по заданным требованиям к качеству системы, закон управления определяется просто. Если управление входит в уравнение объекта нелинейно, то для нахождения требуемого закона управления по заданному эталонному уравнению требуются определенные ухищрения.

Пример 8.2. Объект описывается уравнением.

Требуется определить закон управления, при котором синтезированная система описывается уравнением.

Решение. В данном случае имеем задачу слежения. Функция g (t) является задающим воздействием. Если разрешим эталонное уравнение относительно старшей производной и подставим в уравнение объекта, то получим.

Если это уравнение неразрешимо относительно управления, то требуемое управление находится путем построения следящей системы на основе уравнения [35].

где q — положительная константа. Очевидно, что при и -* 0 управление удовлетворяет уравнению (8.1). На рис. 8.1 представлена.

Рис. 8.1. Структурная схема системы.

структурная схема системы, синтезированной на основе последнего уравнения. На этой схеме.

Эталонное уравнение будет реализовано, если будет выполнено соотношение е = e (t) 0. Последнее, в частности, возможно, когда g (t) = const и система асимптотически устойчива.

Рассмотрим еще один пример, в котором эталонное уравнение не задано, а заданы требования к качеству системы. В этом случае, чтобы воспользоваться методом обратной задачи динамики, нужно сначала на основе требований к качеству системы определить эталонное уравнение.

Пример 8.3. Объект описывается уравнениями.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Требуется определить закон управления, при котором «скорость» v = у/х + х2 и фазовая координата Xi изменяются в соответствии с функциями Решение. Точное выполнение заданных требований невозможно, так как оно зависит не только от выбранного закона управления, но и от начальных условий. Поэтому потребуем, чтобы ошибки.

стремились к нулю в соответствии с решениями уравнений.

Чтобы воспользоваться методом обратной задачи динамики, нужно определить желаемый закон изменения вторых производных фазовых координат. Для этого найдем из (8.2) производные:

Подставив эти выражения, а также выражения для ошибок в уравнения (8.3), получим.

Отсюда находим.

Подставив эти выражения в уравнения объекта, получим искомый закон управления: