Выбор и расчет переходных посадок

Основные принципы теории вероятностей в практике решения задач по расчету и выбору посадок.

Практика обработки деталей на станках показывает, что неизбежно происходит рассеяние размеров. Это связано с несовершенством оборудования, приспособления, средств измерения и другими причинами. Рассеяние (распределение) размеров подчиняется определенным законам.

В области машиностроения наиболее часто встречаются следующие законы распределения:

• • закон нормального распределения (закон Гаусса), когда на рассеяние размеров влияет большое число факторов, не являющихся доминирующими (рис. 4.22, а);
• • закон равной вероятности (равномерной плотности), когда на формирование размера оказывает влияние один резко доминирующий фактор, например износ резца (рис. 4.22, б);
• • закон равнобедренного треугольника (закон Симпсона), когда на формирование размера оказывают суммарное влияние два резко доминирующих фактора (рис. 4.23, е).

Рис. 4.22. Законы распределения размеров при обработке

а — закон нормального распределения; б — закон равной вероятности; в — закон равнобедренного треугольника.

Рис. 4.23. Вероятность нахождения заданной случайной величины в пределах определенного интервала:

а — в пределах интервала от х_х до х₂; б — в пределах интервала от 0 до х₂; в — в пределах интервала от 0 до х_х

Появление в партии обработанных деталей некоторого их количества в заданном интервале размеров, а также появление бракованных деталей может служить примером случайных событий. Поэтому при изучении закономерностей случайных производственных погрешностей обработки деталей в условиях массового или серийного производства применяют ряд положений теории вероятностей. Многочисленными исследованиями установлено, что распределение размеров деталей, обработанных на предварительно настроенных станках, при влиянии нескольких независимых и равноценных по величине случайных факторов, близко к закону нормального распределения.

Кривая нормального распределения описывается уравнением.

где у — ордината кривой распределения, соответствующая плотности вероятностей появления случайной величины; а — среднее квадратическое отклонение случайной величины; е — основание натурального логарифма; х — значение случайной величины или отклонения от среднего значения.

Площадь, ограниченная кривой нормального распределения и осью абсцисс, для случая, когда начало координат совпадает со средним арифметическим значением, описывается уравнением.

При замене х отношением z = х/с уравнение (4.83) приводится к виду.

Вся площадь под кривой распределения принимается за единицу. Поскольку кривая симметрична относительно оси у, уравнение (4.84) можно писать записать в виде.

Величина Ф (я) называется интегралом вероятностей или нормированной функцией Лапласа. В табл. 3.1 приведены числовые значения функции Ф (я) при различных значениях аргумента z.

Для нахождения вероятности того, что заданная (искомая) случайная величина (размер, зазор, натяг) будет находиться в пределах интервала от*! дох₂ (рис. 4.23, а), необходимо определить площадь заштрихованной области под кривой путем вычитания площадей, полученных при интегрировании от 0 до х₂ и от 0 до х_г (рис. 4.23, б, в). Таким образом, вероятность попадания интересующей нас случайной величины в интервал от х_} до х₂ будет определяться выражением.

В технических расчетах за величину поля рассеяния случайной величины обычно принимают величину V, изменяющуюся в пределах ±3а с вероятностью Р = 0,9973. Тогда поле рассеяния определяется.

где, а — среднее квадратическое отклонение случайной величины.