Фильтр Винера. 
Теория автоматического управления. 
Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы

Передаточная функция оптимального фильтра (фильтра Винера) имеет вид

где — частотная передаточная функция формирующего фильтра входного сигнала X (t) = S (t) + N (t); S_X8(v) — взаимная спектральная плотность входного и полезного сигналов; […]+ — выражение, которое получается, если в разложении на простые дроби дробно-рациональной функции, заключенной в квадратных скобках, исключить те слагаемые, полюсы которых расположены в нижней полуплоскости на комплексной плоскости и или в правой полуплоскости на комплексной плоскости s = ju.

Прежде чем доказать формулу (11.10), рассмотрим пример. Пример 11.2. Принимаемый сигнал X (t) представляет собой сумму полезного сигнала S (t) и помехи N (t):

Корреляционные функции полезного сигнала и помехи имеют вид.

полезный сигнал и шум не коррелированы.

Определить передаточную функцию фильтра Винера.

Решение. В соответствии с формулой (11.10) для определения искомой передаточной функции необходимо знать передаточную функцию формирующего фильтра принимаемого (входного) сигнала №ф (з) и взаимную спектральную плотность входного и полезного сигналов S_xa(^) — Так как полезный сигнал и помеха не коррелированы, имеем.

или Спектральные плотности полезного сигнала и помехи имеют вид.

Подставив эти выражения в приведенную выше формулу для S_x(w), получим.

где 0² = 2а² a/No -fa². Из последнего соотношения находим.

Найдем взаимную корреляционную функцию входного и полезного сигналов:

Отсюда следует.

= <�Т²

Теперь найдем выражение, заключенное в квадратные скобки в формуле для оптимального фильтра (11.10):

Далее, разложив правую часть методом неопределенных коэффициентов на элементарные дроби, находим.

Отбросив вторую элементарную дробь, полюс которой расположен в нижней полуплоскости на плоскости cj, получим.

+ 0) a + ju)

Подставив это выражение и выражение для передаточной функции формирующего фильтра в (11.10), найдем искомую передаточную функцию где.

Вывод формулы (11.10). Представим оптимальный фильтр в виде соединения двух звеньев (рис. 11.2): обратного фильтра ¹(р)₁ преобразующего входной сигнал X (t) = S (t) + N (t) в белый шум V (t)

с единичной интенсивностью:

Рис. 11.2. Структурное пред- ^{и звена с} передаточной функцией ставление оптимального которую предстоит определить.

фильтра Пусть входной сигнал представляет собой белый шум: X (t) = V (t). Тогда, так как К_х(т) = ?(г) и весовая функция фильтра Винера w (t) = = iyi (i), уравнение Ниирпа-УппгЬя П1.

принимает вид или В связи с тем, что передаточная функция связана с весовой функцией преобразованием Лапласа, из последнего равенства получаем.

Таким образом, W (5) есть передаточная функция фильтра Винера, когда входной сигнал является белым шумом с единичной интенсивностью. Как следует из структурной схемы (см. рис. 11.2), в общем случае, когда входной сигнал не является белым шумом, передаточная функция оптимального фильтра определяется по формуле.

Следовательно, решение уравнения Винера-Хопфа сводится к определению передаточной функции формирующего звена входного сигнала и вычислению интеграла (11.11).

В соотношение (11.11) входит корреляционная функция К_ьв(т)_у которая не задана. Найдем ее, основываясь на корреляционной функции К_хз(т). Положим W (s) = 1Уф ^L(s). Тогда имеем (см. рис. 11.2).

где й (А) = L~¹{W (s)}. Умножим обе части на S (t + т) и выполним операцию математического ожидания:

Подставив в это равенство взаимную корреляционную функцию и поменяв порядок интегрирования, получим.

Учитывая, что W (juj) = последнее соотношение можно записать в виде

Подставим это выражение в (11.11):

Таким образом, передаточная функция оптимального фильтра имеет вид (см. (11.12))

Если S_xs{oj)/W_<^(-juj) — дробно-рациональная функция, то двойной интеграл вычисляется (с помощью теории вычетов) в конечном виде, и передаточная функция оптимального фильтра принимает вид (11.10).