Анализ динамических режимов с использованием метода переменных состояния

Анализ процессов в сложных электрических цепях выполняют методом переменных состояния, основанном на формировании и решении канонической системы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных.

Проиллюстрируем подход к формированию уравнений состояния па примере произвольной линейной электрической схемы с / входными и т выходными зажимами (рис. 6.8, а).

Переменные, описывающие процессы в цепи, разделим на три группы: воздействия (параметры источников) V = | V (t),…, V,(f),…, Ji (t)^T; выходные величины Y = [у (р),…, f/,"(f)]^T и переменные состояния X = |M_fl (f),…, i_L«(t)]^y.

а б.

Рис. 6.8. Исследуемая электрическая цепь (а) и ее представление (б).

В качестве переменных состояния примем токи индуктивностей i_L и напряжения емкостей и_с, которые определяют независимые начальные условия. Выходными переменными являются любые необходимые пользователю величины. Часто при расчетах выходными переменными считают токи i_v источников напряжения и напряжения Uj источников тока.

Для формирования уравнений схемы выделим ветви с источниками воздействий, индуктивностями и емкостями, которые присоединены к оставшейся части, представляющей собой резистивный многополюсник (рис. 6.8, б). Для его описания можно воспользоваться, например, системой Я-параметров, связывающих токи и напряжения выделенных зажимов,.

Подставив в это выражение компонентные соотношения для емкостей и индуктивностей, получим.

Разрешив полученные уравнения относительно производных и записав выходные уравнения, сформируем канонические уравнения состояния.

Аналитическое решение уравнений состояния при известных начальных условиях записывают в виде суммы свободной и принужденной составляющих.

Принужденная составляющая зависит от характера источников и может быть определена с использованием рассмотренных способов формирования уравнений и их решения для установившихся режимов цепи. Могут быть использованы также уравнения состояния. Например, при синусоидальных источниках напряжений и токов уравнения применяют комплексную форму.

С использованием приведенных выражений можно рассчитать комплексные изображения переменных состояния и выходных величин. Они также позволяют получить общие выражение для определения частотных характеристик.

Уравнения состояния для свободных составляющих имеют вид.

Решение уравнения первого порядка принято записывать в форме x_CB(t) = e^Xtx_CQ(0). По аналогии свободную составляющую системы уравнений состояния записывают с использованием матричной экспоненты в виде

Начальные значения свободных составляющих зависят от начальных условий для переменных состояния Х (0) и установившегося процесса Х_|ф(0):

Характер свободных процессов в цепи зависит от значений корней характеристического уравнения det[A.l — АД = 0, которые могут быть различными вещественными или комплексными попарно сопряженными. В математике корни характеристического уравнения называют собственными числами матрицы А. При выполнении расчетов матричную экспоненту принято представлять конечным рядом e^A{t = а₀1 + olA_{ + а^А" ^-, причем коэффициенты ряда зависят от корней характеристического уравнения, т. е. = = а_к(е^ы, е^х" ').

Приведенная формальная запись решения полезна для вывода соотношений, характеризующих общие свойства электрической цепи.

Применение преобразования Лапласа позволяет представить уравнения состояния в операторной форме.

Решение системы операторных алгебраических уравнений для переменных состояния имеет вид.

Для свободных составляющих, приняв V (s) = 0, получим выражение.

которому во временной области соответствует = e^Al/X₍₀). Следовательно, матрица [si — Aj] является изображением по Лапласу матричной экспоненты е^А]t. Поэтому ее можно найти, вычислив оригинал каждого элемента изображения.

При Х (0) операторные уравнения состояния предоставляют возможность общей матричной записи передаточных функций цепи H (s).

Контрольные вопросы и задания

• 1. Сформулируйте задачу расчета переходных процессов и поясните смысл введения отдельных составляющих.
• 2. Поясните процедуру решения задачи расчета переходных процессов в линейных цепях классическим способом.
• 3. Что служит математической основой расчета переходных процессов операторным способом?
• 4. Дайте определение переходной и импульсной функций электрической цепи. Опишите их назначение и приведите пример применения.
• 5. Дайте определение передаточной функции электрической цепи и опишите формы ее представления.
• 6. Запишите выражения, связывающие характеристики линейной электрической цепи.
• 7. Какие переменные принято использовать для описания состояния линейной электрической цепи?