Динамические характеристики линейных электрических цепей

Анализ линейных электрических цепей при произвольном воздействии во временной области базируется на принципе суперпозиции (наложения реакций). При этом сложное воздействие представляют в виде совокупности простых типовых сигналов и вначале определяют реакцию цепи на типовое воздействие, а затем суммируют реакции от всех составляющих заданного воздействия. Наибольшее распространение получило представление электрических сигналов в форме интегралов с использованием единичных ступенчатых функций или импульсных 8-функций Дирака.

Предположим, что известна реакция h (t) линейной электрической цепи на входное воздействие в виде единичной функции V (t) = 1 (t) при нулевых начальных условиях. Указанную характеристику называют переходной функцией цепи. При действии на входе источника напряжения V (t), представленного в виде совокупности единичных функций.

в соответствии с принципом наложения реакция определяется из выражения

где обозначено V'(Q = dV/d.

Полученное соотношение, представляющее собой свертку функций V (t) и h (t)y в электротехнике принято называть интегралом Дюамеля.

Как было показано при рассмотрении сигналов, они могут быть также представлены как совокупность импульсных 8-функций Дирака в виде

При известной характеристике h^{t) линейной электрической цепи на входное воздействие в виде 8-функции при нулевых начальных условиях, называемой импульсной функцией цепи, реакцию можно вычислить по формуле.

Следовательно, в расчете линейных цепей при произвольном воздействии можно выделить две стадии:

• • определение или расчет реакции цепи на единичные ступенчатое 1 (?) или импульсное 8(?) воздействия;
• • вычисление интеграла во временной области (суммирование реакций).

Используемые типовые сигналы взаимосвязаны (S (?) = d (t)/dt), что обусловливает взаимосвязь соответствующих характеристик цепи

Рассмотрим процедуры получения характеристик линейной электрической цепи и их использования для анализа динамических режимов на примере расчета резистивно-емкостной схемы (рис. 6.5, а).

Вначале определим переходную характеристику h (t) при воздействии ступенчатой функции 1 (?), которое можно представить как подключение в момент t = 0 постоянного источника с V = 1 В (рис. 6.5, б). Из полученной эквивалентной схемы следует.

где k_R = R/(R + г) — статический коэффициент передачи; т = = CRr/(R + г) — постоянная времени.

Вычисление импульсной характеристики цепи по найденной переходной функции можно осуществить с использованием дифференцирования, которое приводит к результату.

Рис. 6.5. Исследуемая схема («), схема расчета переходной функции (6), воздействие (в).

Рассчитаем реакцию цепи при воздействии трапецеидального импульса (рис. 6.5, в), имеющего следующее аналитическое описание:

Подстановка выражений для h (t) и V (t) в формулу для интеграла Дюамеля и интегрирование по участкам позволяют записать результат в виде.

Из полученных выражений очевидно, что даже для несложной схемы при действии напряжения простой формы окончательные соотношения получились достаточно громоздкими. Трудоемкость расчета связана в основном с выполнением процедуры интегрирования.

Ведущее место в исследовании линейных устройств занимает импульсная характеристика, которая фактически описывает свободный процесс в системе. На практике свободный процесс можно интерпретировать как режим работы цепи по окончании действия импульса малой длительности. При этом возникает вопрос о длительности воздействующего импульса, который можно считать близким к 8-функции.

Предположим, что на входе рассматриваемой схемы действует прямоугольный импульс амплитудой Vq и длительностью At. После окончания действия импульса (t > At) напряжение на выходе цепи.

Для короткого импульса, удовлетворяющего условию t справедливо приближенное равенство (e^^z — 1) ~ At/т, и выходное напряжение принимает вид u (t) = k_RV₀(At/T)e~^t/x. Из сопоставления этого выражения с импульсной функцией следует, что

где А_и — площадь импульса.

Таким образом, при малой по сравнению с интервалом изменения импульсной характеристики длительностью импульса реакция цепи пропорциональна импульсной функции цепи щ ~ h_b(t)A_u вне зависимости от формы воздействующего сигнала. Полученное соотношение существенно упрощает анализ цепей при воздействии коротких импульсов произвольной формы и экспериментальное исследование поведения системы в свободном режиме.

При исследовании линейных физических устройств необходимо принимать во внимание следующие особенности импульсной характеристики:

• • свойство реализуемости, дающее нулевые значения для отрицательного времени, так как появление реакции до воздействия противоречит причинно-следственным связям;
• • стремление значений к нулю через достаточно большой промежуток времени вследствие рассеяния энергии в пассивной цени.

При анализе процессов в линейных цепях операторным методом в качестве характеристики используют передаточную функцию, представляющую собой отношение изображений по Лапласу реакции цепи к воздействию (H (s) = U (s)/V (s)) при нулевых начальных условиях. В зависимости от вида выходной величины и воздействия возможны передаточные функции напряжения K"(s) = U (s)/V (s) или тока K'(s) = I (s)/J (s), а также сопротивления Z (s) = U (s)/J (s) и проводимости Y (s) = I (s)/V (s).

Передаточную функцию можно сформировать по известному дифференциальному уравнению устройства.

в форме отношения многочленов.

Вычислив из условия N (s) = 0 корни Sf< полинома знаменателя и из условия M (s) = 0 корни л’о/е полинома числителя, можно передаточную функцию записать в виде.

Это свидетельствует о том, что передаточная функция характеризуется набором комплексных чисел sназываемых полюсами, и называемых нулями.

Получим передаточные функции рассматриваемой резистивноемкостной схемы и построим распределение их полюсов и нулей. При нулевых начальных условиях сформируем операторную схему (рис. 6.6, а).

Рис. 6.6. Операторная схема (а), полюсно-нулевая диаграмма (б), переходные функции (в) Составление уравнений и расчет выходного напряжения U (s) приводят к следующему выражению для передаточной функции:

где k_R = r/(R + г); т = CRr/(R + г).

Если в той же схеме в качестве выходной величины выбрать U_r(s), то получим передаточную функцию.

Она обладает полюсом S — —1/х и нулем Sq = -1 /{RC), расположенными на действительной оси комплексной плоскости (рис. 6.6, б). Очевидно, что передаточная функция H_{(s) имеет на плоскости корней такой же полюс и у нее отсутствуют нули. Таким образом, полюсно-нулевые диаграммы для одной и той же схемы имеют совпадающие нули и различаются полюсами.

Соответственно отличаются их переходные характеристики (рис. 6.6, в). С учетом того что полюсы передаточной функции определяют постоянные времени свободной составляющей, приведенные переменные изменяются с одинаковыми скоростями, а нули передаточных функций задают уровни переменных.

Для выявления взаимосвязи передаточной функции и импульсной характеристики цепи получим выражение передаточной функции при воздействии 8-функции, имеющей изображение V_;[ (s) = 1, в виде.

которому соответствует однородное дифференциальное уравнение, описывающее свободную составляющую,.

Вид искомой импульсной функции зависит от значений корней характеристического уравнения Х^п + … + а{к + а₀ = 0, которое при замене X на 5 переходит в уравнение N (s) = 0, определяющее полюсы передаточной функции. Следовательно, полюсы передаточной функции и есть корни характеристического уравнения, определяющие вид импульсной функции цепи.

Передаточные функции устройств широко используются для анализа и сопоставления динамических свойств электрических цепей в линейном режиме. При экспериментальных исследованиях электротехнических устройств с помощью измерительных приборов можно получить амплитудные и фазовые характеристики как функции действительной частоты. Из сопоставления формул интегральных преобразований Лапласа и Фурье следует взаимосвязь передаточной функции с комплексным коэффициентом передачи четырехполюсника: Il (jco) = Я (л*)|₅__у0).

Одним из важных свойств частотных характеристик физически реализуемых устройств является наличие связи между действительной и мнимой составляющими коэффициента передачи f/(jсо) = If_{(j со) + jH₂(Jco). Из этого следует, что амплитудная и фазовая частотная характеристики устройств взаимосвязаны и могут быть получены одна из другой. Следовательно, при экспериментальном определении частотных характеристик достаточно зафиксировать зависимости амплитуды от частоты с использованием генератора синусоидальных сигналов и вольтметра.

Получение временных функций, но экспериментальным частотным характеристикам осуществляется, как правило, приближенными методами на основе их аппроксимации. Импульсная характеристика линейной цепи, представляющая собой обратное преобразование Фурье комплексной передаточной функции, может быть вычислена интегрированием в положительной области вещественной частоты:

Экспериментальную или расчетную вещественную характеристику обычно заменяют отрезками прямых линий (рис. 6.7, а).

Затем полученную кусочно-линейную зависимость заменяют совокупностью элементарных частей, для которых в справочниках.

Рис. 6.7. Аппроксимация вещественной частотной характеристики (а).

и ее элемент (б).

имеются соответствующие зависимости от времени. Обычно используют представление в форме трапеции (рис. 6.7, б), отображающей функцию времени.

/(f) = (2faD|/7t)[(sincoif)/(cO|f)][(sin ДюГ)/(Дсо/)].

Дальнейший расчет сводится к графическому или аналитическому суммированию составляющих, отражающих влияние каждой трапеции.

Таким образом, все типы представления (дифференциальное уравнение или система, полюсно-нулевое) и характеристики (временные, частотные) одного четырехполюсника (цепи) взаимосвязаны, т.с. при необходимости могут быть получены одна из другой.