Переходные процессы в цепи с последовательным соединением резистора, индуктивной катушки и конденсатора

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из трех последовательно соединенных элементов с параметрами I, Я и С при подключении источника постоянной ЭДС Е (рис. 4.6.1).

Рис. 4.6.1. Схема подключения цени с последовательным соединением элементов

к источнику постоянной ЭДС

Электрическое состояние этой цени в переходном режиме описывается уравнением

Для удобства анализа преобразуем полученное уравнение для тока в дифференциальное уравнение второго порядка для напряжения конденсатора и_с, используя выражение

Переходное напряжение и_Спср может быть получено как сумма установившегося напряжения и_с, являющегося частным решением уравнения (4.6.1а) при? —*? °о, и свободного напряжения и_Ссв, являющегося общим решением однородного уравнения

Частное решение уравнения (4.6.1а) при (теоретически при.

? —*• оо) равно ЭДС Е, поэтому установившееся напряжение и_с = /, а установившийся ток г = 0.

Для нахождения свободного напряжения на конденсаторе и_Ссв, однородное уравнение (4.6.2) перепишем таким образом:

Решение этого уравнения имеет вид.

где Л, и Л₂ — постоянные коэффициенты; р, и р., — корни характеристического уравнения, соответствующие уравнению (4.6.3):

Однородные уравнения (4.6.2) и (4.6.3) описывают электрическое состояние цени разрядки конденсатора, заряженного предварительно до напряжения и_о на индуктивную катушку (рис. 4.6.2), гак как в этом случае установившееся напряжение на конденсаторе и_Су = 0, а переходное напряжение равно свободному напряжению: и_с = и_Сси. Рассмотрим переходный процесс разрядки конденсатора (рис. 4.о.2) и найдем для него переходные ток и напряжение.

Рис. 4.6.2. Схема цепи разрядки конденсатора на индуктивную катушку.

Постоянные коэффициенты и Л₂ в уравнении (4.6.4) определяют исходя из значений напряжений и_с и тока / в момент коммутации (I: = 0). Поскольку в соответствии со вторым законом коммутации напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, для цепи рис. 4.6.2 в первый момент после коммутации (/ = 0+).

Переходный ток при разрядке конденсатора на индуктивную катушку получим из уравнения (4.6.4), так как /_у = 0:

В соответствии с первым законом коммутации.

Решая совместно уравнения (4.6.6) и (4.6.8), находим постоянные интегрирования:

Корни характеристического уравнения определяются выражениями.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

В зависимости от соотношения параметров Я, I и С возможны три типа переходных процессов.

Колебательный процесс. Если, т. е. сопротивление Я в цепи относительно мало, то корни характеристического уравнения р, и р₂ являются комплексно-сопряженными:

где Подставляя в (4.6.4) значения р, и р₂ и проводя преобразования, связанные с заменой полусумм и полуразностей экспонент от мнимого аргумента у тригонометрическими функциями, получим.

Здесь как следует из (4.6.6).

Выражение (4.6.12) описывает затухающие колебания с угловой частотой (3 и коэффициентом затухания а. Выражение для переходного тока может быть получено из (4.6.12) на основании соотношения

На рис. 4.6.3, а приведены графики изменения во времени напряжения и тока при колебательном переходном процессе (1)_т = 10 В, Я = 0,1 кОм, Ь = = 10 Гн, С = 100 мкФ).

Рис. 4.6.3. Графики ?(Г) и и_с(7) при колебательном (а) и апериодическом (б).

процессах Амплитуды напряжения м_Спер и тока I при разрядке конденсатора на индуктивную катушку убывают, но экспоненте.

Апериодический процесс. Если , т. е. сопротивление Я в цепи относительно велико, то корни характеристического уравнения р, и р₂ являются вещественными, но разными по значению. Графики изменения и_Стр и * при разряде конденсатора на индуктивную катушку в этом случае (при Я = 1 кОм, см. рис. 4.6.3, 6) соответствуют экспоненциальному закону, т. е. переходный процесс имеет апериодический характер.

Предельный апериодический процесс. Если , то корни характеристического уравнения (4.6.5) одинаковы и вещественны (/;, ₂ = -а). Это соответствует предельному случаю апериодического переходного процесса в рассматриваемой электрической цепи. Малейшее уменьшение значения Я/Я приводит к колебательному характеру переходного процесса.

Упражнение 4.6.1. Определение характера переходного процесса Какой характер переходного процесса (колебательный или апериодический) возникает в цепи разрядки конденсатора С = 100 мкФ, индуктивность катушки Г = 100 мГн, а сопротивление Я = 20 Ом? Варианты ответа:

• 1) колебательный переходный процесс;
• 2) апериодический переходный процесс.

В заключение главы отметим, что для расчетов переходных процессов в практических целях были разработаны методы интегральных преобразований (например, операторные методы) и численные методы. Благодаря широкому внедрению вычислительной техники разработано множество программ, позволяющих рассчитывать любые переходные процессы, в том числе в нелинейных цепях, если имеются достаточно точные их схемы замещения.

Комментарии к ответам на задания в главе 4

• 4.1.1. В соответствии с первым законом коммутации ток в ветви с элементом, обладающим индуктивностью, является непрерывной функцией, в первый момент после коммутации должен быть равен нулю, поэтому тока в элементах 2 и 3 нс будет. Напряжение на конденсаторе согласно второму закону коммутации является непрерывной функцией, т. е. не может изменяться скачком, поэтому в первый момент после коммутации напряжение на элементах 1 и 4 возникать не будет. Его не будет и па элементе 2, так как ток через него в этот момент равен нулю.
• 4.6.1. Для того чтобы определить характер переходного процесса в цепи разрядки конденсатора на резистор и индуктивную катушку, необходимо сопоставить

числовые значения величин . Для заданных условий

и Таким образом, поскольку , переходный процесс будет иметь колебательный характер.