Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях

В результате изучения данной главы студенты должны: знать: определение и назначение переходной, импульсной и передаточной функций электрической цепи;

уметь: записать выражения, связывающие характеристики линейной электрической цени;

владеть: методами расчета переходных процессов в линейных цепях.

Классический подход к расчету переходных процессов

Установившиеся процессы следует рассматривать как частный случай динамических режимов электрических цепей при воздействии изменяющихся во времени сигналов. Под переходным процессом обычно понимают изменение переменных в интервале времени между установившимися режимами. Анализ переходных процессов подразумевает расчет изменения во времени токов и напряжений в цепи при коммутациях, т. е. подключениях и отключениях отдельных ветвей с помощью идеальных ключей, производящих мгновенное переключение.

В схемотехническом приближении предполагается, что энергия сконцентрирована в электрическом поле конденсаторов и магнитном поле индуктивных катушек. Во время переходного процесса происходит перераспределение электромагнитной энергии между элементами. Изменение токов и напряжений во времени описывается полной системой дифференциальных уравнений, записанных с использованием топологических и компонентных соотношений. Исключив промежуточные переменные, ее можно привести к обыкновенному дифференциальному уравнению для искомого тока (напряжения) порядка п, который равен суммарному числу независимых емкостных и индуктивных элементов:

(d" i/dt") + а" {d" ~^xi/dt" ') + … + а(*di/di) + а₀ = F (t).

Функция F (t) определяется характеристиками внешних воздействий.

Решение приведенного линейного дифференциального уравнения представляют в виде суммы i (t) = i_CB(t) + i_y(t), причем i_CB(t) — решение однородного уравнения в цепи без источников (F = 0), описывающее свободные процессы, L (t) — частное решение при наличии воздействий. В качестве частного решения обычно принимают искомую величину в установившемся после коммутации режиме.

Описание свободных процессов имеет вид.

где Xk~ корни характеристического полинома Х^п + а_п-{Х^п~^х + … + + а{Х + а₀ = 0.

Произвольные постоянные определяются начальными условиями, представляющими собой значения искомой величины i (t) и ее производных в момент коммутации /'(()), Г (0),…, i"^_1(0) (обычно при t = 0). Начальные условия вычисляют с использованием законов коммутации, определяющих непрерывность изменения во времени токов индуктивностей и напряжений емкостей,.

Начальные значения искомого тока и его производных вычисляют, но значениям и_с^{0) и i_Lp(0) с использованием системы уравнений Кирхгофа, продифференцированных (п — 1) раз.

Таким образом, классический подход к расчету переходных процессов содержит следующие операции:

• • составление системы уравнений цепи и преобразование ее к форме дифференциального уравнения относительно искомой переменной;
• • определение токов индуктивностей и напряжения емкостей (независимых начальных условий) из режима, предшествующего коммутации;
• • запись характеристического полинома и вычисление корней характеристического уравнения;
• • расчет зависимых начальных условий (значений переменной и ее производных в момент коммутации);
• • определение искомой переменной в установившемся режиме;
• • вычисление произвольных постоянных и запись искомого решения.

Аналитический расчет переходных процессов, называемый классическим, применим для цепей с источниками простой формы (по;

Рис. 6.1. Схема заряда конденсатора (а), зависимости от времени тока (б) и напряжения (в) стоянные, синусоидальные), позволяющими достаточно просто определить токи и напряжения в установившихся режимах.

Рассмотрим особенности расчета на примере подключения гС-цепи к источнику постоянного напряжения V (рис. 6.1, а).

Запись уравнения напряжений u_r + Uq ⁼ V, подстановка компонентных соотношений и, — = ri, i = Cduc/dt и дифференцирование полученного выражения приводят к дифференциальному уравнению для тока

Характеристическое уравнение X + 1/т = 0 имеет корень X_t = - 1/т, причем коэффициент т = гС, имеющий размерность времени, называют постоянной времени цепи. Свободная составляющая тока имеет вид

В установившемся режиме постоянный ток через конденсатор отсутствует (установившееся значение тока i_y = 0), что также можно получить из дифференциального уравнения при условии di/dt= 0. Независимое начальное условие предварительно заряженного до значения Uq конденсатора записывается в виде.

Зависимое начальное условие i (0) вычисляется с использованием уравнения контура, записанного для t = 0: п (0) + и_с(0) ⁼ ^ Его решение дает г (0) = /₀ = (V — U₀)/r. С учетом соотношения 1(0) = г_св(0) получим А = /о, и окончательный результат имеет вид.

Нормированный ток г//₀ характеризуется экспоненциальной зависимостью от времени, причем скорость уменьшения тока определяется постоянной времени цени (табл. 6.1), численно равной длине подкасательной в любой точке экспоненциальной функции (рис. 6.1, б).

Таблица 6.1

Значения экспоненциальной функции времени.

Теоретически процесс убывания тока до установившегося (нулевого) значения длится бесконечное время. С достаточной для практики точностью считают, что переходный процесс заканчивается за время t_n = (2-j-3)t, когда ток уменьшается до 13—5% от начального значения.

Найденное выражение для тока позволяет с помощью уравнений цепи, записанных в форме алгебраических выражений, определить другие переменные, например напряжение на конденсаторе:

Если принять U_{) = 0, подстановка выражения для тока дает решение.

описывающее экспоненту с той же постоянной времени (рис. 6.1, в).

Учет индуктивности L резистора и сопротивления утечки R конденсатора приводит к усложнению эквивалентной схемы (рис. 6.2, а).

Применим классический подход для расчета тока г’Д?) в полученной схеме, уравнения токов и напряжений которой имеют вид.

Достаточно громоздкое их преобразование с учетом компонентных соотношений i_c = Cdu_c/dt, i_R = Uc/R, u_r = ri_L, u_L = Ldi_L/dt приводит к следующему уравнению для искомого тока:

Установившееся значение можно вычислить, составив схему для расчета цепи по постоянному току (рис. 6.2, б), из которой сле;

^а 6 в.

Рис. 6.2. Исходная цепь (а), схема в установившемся режиме (б), обобщенная ветвь (в) дует I_Ly = V/(r + R). Тот же результат можно получить из дифференциального уравнения, положив d²i_L/dt² = 0, di_L/dt = 0.

Для записи свободной составляющей тока составим характеристический полином.

Решив полученное квадратное уравнение, вычислим его корни.

Х₂. Предположим для определенности, что при заданных параметрах элементов корни будут действительными и A. J ^ ₂> ^{ЧТ ()} Д^а" ет свободную составляющую в виде.

Полное решение представляет собой сумму.

Для определения постоянных А *, А₂ необходимо определить зависимые начальные условия, т. е. вычислить значения г'/(0) и dijjdt|оИсходными данными служат независимые начальные условия //(0) = 0, и_с(0) = 0. Связующие соотношения представляют уравнения цепи для момента коммутации t = 0, которые также следует продифференцировать. В результате образуется следующая система алгебраических уравнений:

В рассматриваемом примере из второго уравнения получим.

m-v/L.

Подстановка t = 0 в выражения для искомого тока и его производной дает систему уравнений А + Л? + A_Iy = ij{0) и ХА + Х₂А₂ = = i[(0) = V/L

Для разветвленных схем с несколькими накопителями энергии наиболее трудоемкими и плохо формализуемыми операциями являются сведение уравнений цепи к дифференциальному уравнению искомой переменной, а также вычисление зависимых начальных условий. Разработанные подходы позволяют исключить эти процедуры.

Дифференциальное уравнение для искомой переменной фактически используется только при записи характеристического уравнения и вычисления его корней. Свободная составляющая искомой величины представляет собой сумму экспоненциальных функций времени и по существу является решением однородной системы уравнений цепи (с нулевой правой частью). Рассмотрим обобщенную ветвь схемы с экспоненциальным током (рис. 6.2, в).

Форма записи напряжения на зажимах ветви подобна напряжению для комплексных амплитуд:

Если в исходной схеме заменить все ветви обобщенными, то можно получить систему топологических и компонентных уравнений для свободных составляющих. Эта однородная система алгебраических уравнений имеет нетривиальное решение при нулевом значении определителя Д (Х) = 0. С целью сокращения числа совместно решаемых уравнений полную систему можно преобразовать в уравнения узловых потенциалов, для которых условием существования ненулевого решения является приравнивание нулю определителя полученной системы (ДДА.) = 0). Можно также показать, для получения характеристического уравнения можно приравнять нулю входную проводимость схемы относительно любой пары узлов (Y_BX(?t) = 0), а также входное сопротивление схемы относительно разрыва любой ветви (Z_BX(X) = 0). Так, приравнивание нулю входного сопротивления рассматриваемой схемы.

дает полученный ранее результат.

Процедуру вычисления зависимых начальных условий по независимым можно обойти выбором в качестве вычисляемых величин токов индуктивностей и напряжений конденсаторов, для которых начальные условия вычисляют непосредственно из предшествующего режима. Указанные величины определяют динамические процессы в электрической цепи и носят название переменных состояния. По найденным переменным состояния искомые величины вычисляют с помощью алгебраических соотношений.

Составление уравнений состояния базируется на записи и преобразовании полной системы уравнений цепи. Способы составления зависят от структуры цепи и числа накопителей энергии. Для не слишком сложных схем можно рекомендовать преобразование основных уравнений с помощью следующих правил:

• • из уравнений по закону Кирхгофа для напряжений выразить напряжения индуктивностей и представить их в форме u_L = Ldi_L/dt,
• • из уравнений по закону Кирхгофа для токов выразить токи емкостей и представить их в форме i_c = Cdu_c/dt;
• • остальные величины, в том числе искомые переменные, можно выразить через переменные состояния посредством записи уравнений резистивной цепи, полученной заменой токов i_L источниками тока и напряжений и_с источниками ЭДС.

Приведенный алгоритм позволяет достаточно просто составить уравнения состояния для схемы рассматриваемого примера. Уравнение токов преобразуется к виду = Cduc/dt = б. — u_c/R, а уравнение напряжений — к виду u_L = bdi_L/dt = -ri_L — и_с + V. Полученные уравнения дают следующие уравнения состояния:

Определив переменные состояния, несложно найти другие величины, например ток утечки конденсатора i_R = u_c/R.

Для сложных электрических цепей используют разработанные матрично-топологические способы формирования и решения уравнений состояния.