Линеаризация обратной связью

Функция и = Ф (х, v), где и, v — входы (управления), х — вектор состояния, называется преобразованием обратной связью, если она разрешима относительно v. Переход от нелинейной системы (6.1) к линейной системе путем преобразования, включающего преобразование обратной связью, называется линеаризацией обратной связью.

Линеаризация обратной связью (ЛОС) является не приближенным, а эквивалентным преобразованием: в результате ЛОС получается система, эквивалентная исходной системе. При ЛОС управление и заменяется новым управлением v. Функция преобразования, кроме нового управления, включает вектор состояния (в частном случае только выходную переменную). Поэтому при этом преобразовании объект охватывается обратной связью. Отсюда и название этого преобразования — преобразование обратной связью.

Пример 6.1. Задан объект, который описывается уравнением.

Требуется определить закон управления, при котором замкнутая система асимптотически устойчива в целом.

Решение. Как было показано в предыдущем параграфе, синтез замкнутой системы, основанный на обычной линеаризации, не обеспечивает асимптотическую устойчивость в целом. Воспользуемся линеаризацией обратной связью

При этом преобразовании уравнение объекта примет вид х = v. При таком уравнении единственным разумным линейным законом управления является v = — кх (к > 0). Подставив это выражение для управления в уравнение преобразования, получим.

Уравнение замкнутой системы имеет вид х = —кх. Замкнутая система асимптотически устойчива в целом.

Рассмотрим еще один простой пример.

Пример 6.2. Задан объект, котооый описывается уравнениями.

Требуется определить закон управления, при котором замкнутая система асимптотически устойчива в целом.

Решение. Воспользуемся преобразованием обратной связью В новых переменных уравнения объекта примут вид Приняв закон управления для замкнутой системы получим.

Замкнутая система асимптотически устойчива в целом. В исходных переменных уравнения замкнутой системы принимает вид.

В примере 6.2 преобразование обратной связью включает, помимо преобразования управления, преобразование фазовых координат. При этом, если в примере 6.1 было более или менее понятно, как выбирать преобразование, то в примере 6.2 выбор преобразования не очень понятен. Кроме того, в общем случае возникает вопрос: существует ли преобразование обратной связью, обеспечивающее линеаризацию той или иной системы? Таким образом, в теоретическом плане при рассмотрении линеаризации обратной связью возникают два основных вопроса:

• 1) для каких систем линеаризация обратной связью возможна?
• 2) как найти соответствующее преобразование?

Но прежде чем непосредственно переходить к рассмотрению этих вопросов, познакомимся с необходимыми для этого математическими понятиями.