Расчет цепей с изменяющимися параметрами

Математические трудности решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами привели к отсутствию общего аналитического метода их расчета. Выбор применяемого метода зависит от цели анализа (исследование установившихся или переходных процессов), вида воздействия (апериодическое, импульсная последовательность, периодическое), а также особенностей параметрических элементов.

Часто в электрической цепи удается выделить единственный параметрический элемент, оказывающий преобладающее влияние на процессы, заменив оставшуюся часть линейной эквивалентной схемой (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Структура параметрической цепи.

Обогащение спектров электрических величин и зависимость амплитуд гармоник от коэффициента модуляции свидетельствуют о проявлении эффектов, подобных поведению нелинейных цепей.

Из приведенных примеров можно сделать общий вывод, что параметрическая цепь обладает свойством линейности по отношению к электрическим сигналам. Это означает, что в цепи с параметрическим элементом G{t) при действии источников V и У₂ ток можно представить в виде.

что в принципе позволяет использовать при расчете представление сложного воздействия в форме суммы (интеграла) простых составляющих и применять импульсные функции времени, а также выполнять анализ характеристик в частотной области.

Расчет процессов во временной области обычно выполняют с использованием аппроксимации воздействия отрезками прямых линий на участках. При этом аналитическое решение удается получить только для простых параметрических цепей первого и второго порядков. В качестве примера рассмотрим расчет процессов в цепи, содержащей конденсатор и резистор с изменяющимся сопротивлением (рис. 8.3, а).

Уравнение для напряжения запишем в виде.

и поставим задачу расчета установившегося режима в цепи с постоянным источником тока при скачкообразном периодическом.

Рис. 8.3. Исследуемая схема (я), зависимости изменения сопротивления (б) и напряжения (в).

изменении сопротивления (рис. 8.3, б). Очевидно, что искомое напряжение имеет весьма сложный спектральный состав, что делает нецелесообразным использование частотных методов. Применим подход, основанный на построении и расчете линейных эквивалентных схем на участках с постоянными значениями сопротивления.

В установившемся режиме достаточно определить зависимость u (t) на протяжении периода 0 < t < Т. В момент начала очередного периода происходит увеличение сопротивления с R₂ до /?], что приводит к повышению заряда конденсатора от U до U₂ (рис. 8.3, в). Затем при обратном переключении сопротивления конденсатор разряжается до исходного значения U. Таким образом, расчет процесса на участках можно вести с использованием одной линейной эквивалентной схемы с разными значениями сопротивления. Запишем решения на участках и сформулируем условия их сопряжения.

Для линейной схемы первого порядка на интервалах неизменных значений сопротивления несложно записать решения:

• • при 0 < t < t U (t) = Ae~^l^^x + RJ_y где x_t = RC_y которое при t = t_{ дает значение = А_хе^Чл/Х{ + RJ = Аа + RJ;
• • при t < t< t₂ u₂(t) = А₂е~б~⁽лУ^х2 + _{где l2} = r₂C_} которое при t = t₂ дает значение u₂(t₂) = А₂е~^²~¹б^хг + R₂J = A₂a₂ + R₂J.

Условия сопряжения решений, т. е. равенство начальных условий на участках w_t(0) = u₂(t₂) и = u₂(t_{), позволяют записать соотношения.

из которых можно вычислить постоянные.

Очевидна также применимость подобного подхода к расчету переходного процесса установления полученных значений, но при этом потребуется выполнить большое число преобразований и сопряжений частных решений.

Получение приближенных результатов для упрощенной постановки задач важно с точки зрения оценки правильности постановки задачи анализа и адекватности выбранных моделей.

Другой тип задач связан с определением гармонических составляющих выходного сигнала параметрической цени при синусоидальном или периодическом изменении параметра. Для анализа установившихся и переходных процессов в параметрических цепях, как и в нелинейных, используют методы гармонической линеаризации и гармонического баланса (установившиеся режимы) и метод медленно меняющихся амплитуд (динамический режим изменения амплитуды колебаний).

Приведем примеры расчета периодических процессов в цепи с изменяющейся емкостью (рис. 8.4, а).

а б.

Рис. 8.4. Схемы с переменной емкостью: апериодическая (а) и резонансная (б)

Уравнение схемы с синусоидальным источником имеет вид.

Изменение емкости по закону C (t) = С₀(1 + wsinQf) приводит к появлению в уравнении дополнительного слагаемого, пропорционального напряжению udC/dt, а также созданию множества гармонических составляющих. При небольшом уровне модуляции (т 1) напряжение можно считать близким к синусоидальному и при расчете методом гармонического баланса ограничиться конечным числом гармонических составляющих.

Так, для расчета составляющих на частотах щ и 2со₀ искомое напряжение представим в форме суммы соответствующих составляющих с искомыми амплитудами синусной и косинусной составляющих:

Подставим это решение в уравнение схемы и получим.

Для конкретной цепи с заданными числовыми данными несложно вычислить соответствующие коэффициенты и построить характеристики.

Выбор количества используемых в разложении гармоник и их номеров во многом зависит от фильтрующих свойств линейной части цепи. В качестве модели, отражающей влияние частотного фильтра на амплитуды гармоник, можно рассмотреть резонансный контур, полученный добавлением линейной индуктивности L к рассматриваемой схеме (рис. 8.4, б). Полученную схему описывает дифференциальное уравнение.

Последовательность расчета при этом не изменяется. Так, если решение ищется в прежней форме совокупности гармонических составляющих на частотах со₀ и 2со₀, то его подстановка в правую часть уравнения дает.

Выполнив преобразование всех произведений тригонометрических функций, в полученном выражении приравняем коэффициенты при составляющих sinco₀?, cos cd₀?, sin2co₀?, cos2co₀?. В результате получим систему алгебраических уравнений относительно амплитуд составляющих b _1? я₂> ^2^:

Дальнейшие преобразования более громоздки, но не отличаются от приведенных выше. Возможность получения аналитических выражений имеет значение для практики, так как позволяет оценить влияние параметров контура на преобразование сигналов в параметрической цепи.

В параметрических цепях могут присутствовать источники сигналов произвольной формы, что осложняет их анализ. Подобно линейным цепям с постоянными параметрами для анализа процессов в параметрических цепях принципиально возможно применение импульсной функции и интеграла наложения. Вследствие зависимости от времени коэффициентов описывающих уравнений вид импульсной характеристики Л§(?, о) зависит не только от времени наблюдения t, но и от момента о действия 8-импульса (рис. 8.5).

Рис. 8.5. Вид импульсной характеристики параметрической цепи.

Физически реализуемая импульсная характеристика должна удовлетворять условию /г₈(Г, о) = 0 при t < о. Вычисление импульсной характеристики базируется на решении дифференциального уравнения, что сопряжено со значительными математическими трудностями.

Если импульсная характеристика известна, то выходной сигнал параметрической цепи при произвольном входном воздействии можно вычислить с помощью интеграла Дюамеля

Входной сигнал можно записать по заданному спектру U_BX(jw) в виде.

Подстановка этого соотношения в предыдущую формулу даст.

Введем понятие передаточной функции линейной параметрической цепи

и получим известную формулу.

Применение общего выражения к анализу процессов в параметрических цепях с произвольным изменением параметра обычно нс представляется возможным вследствие трудностей определения и м 11 ул ьс н о й харак тер и ст и ки.

Таким образом, универсальный подход к анализу параметрических цепей базируется на численных методах. Для большинства энергетических преобразователей необходимо выполнять общий анализ, содержащий расчет динамических режимов управления параметрами элементов.