Характеристики случайных сигналов, изменяющихся во времени

Случайный сигнал, изменяющийся во времени, в общем случае содержит детерминированную (систематическую) и центрированную случайную (флуктуационную) составляющие, т. е.

На рис. 7.12 показан график одной из ряда возможных реализаций такого сигнала. Пунктиром показана его детерминированная составляющая m_x(t), вблизи которой группируются и вокруг которой колеблются все другие реализации сигнала.

Рис. 7.12. Реализация случайного сигнала.

Полное представление о характеристиках такого сигнала дает генеральная (полная) совокупность всех его реализаций. На практике она всегда конечна, поэтому характеристики случайного сигнала, найденные опытным путем, следует считать оценками его действительных характеристик.

В каждый момент времени t (т.с. в каждом сечении сигнала) значения случайной функции времени (7.87) представляют собой случайную величину X (t) с соответствующими статистическими характеристиками, рассмотренными выше. В частности, детерминированная составляющая случайного сигнала в каждый момент времени совпадает с математическим ожиданием соответствующей случайной величины X (t), т. е.

где р_х(х, t) — одномерная ПРВ случайного процесса (7.87), которая, в отличие от рассмотренной выше ПРВ случайной величины (7.65), зависит не только от х, но еще и от времени t.

Степень разброса реализаций случайного сигнала относительно его систематической составляющей (7.88) характеризует максимальное значе;

о.

где D_x(t) — дисперсия случайного сигнала, вычисляемая по формуле.

ние модуля флуктуационной составляющей сигнала X (t) и оценивается по величине СКО этой составляющей, которое в общем случае также зависит от времени Для каждого момента времени можно определить доверительный интервал Д_д(?) (см. (7.70)), а затем построить доверительную область, т. е. такую область, в которую реализации случайного сигнала x (t) попадают с заранее заданной доверительной вероятностью Р_д (рис. 7.13).

Рис. 7.13. К иллюстрации понятия «доверительная область».

Трех рассмотренных характеристик (m_x(t), o_x(t) и Д_д(0) достаточно для того, чтобы составить общее представление о свойствах случайного измерительного сигнала (7.87). Однако их недостаточно, чтобы судить о внутреннем составе (спектре) такого сигнала.

На рис. 7.14, в частности, показаны графики реализаций двух различных случайных сигналов с одинаковым математическим ожиданием m_x(t) и CKO c_x(t).

Рис. 7.14. К иллюстрации различий частотных свойств случайного сигнала:

а — низкочастотный сигнал; 6 — высокочастотный сигнал Отличие этих сигналов выражается в различном спектральном (частотном) составе их реализаций, т. е. в разной степени статистической связи между значениями случайного сигнала в два момента времени t_x и t₂ = t_x + т, отстоящих один от другого на величину т. Для сигнала, показанного на рис. 7.16, а, эта связь более сильная, чем для сигнала на рис. 7.14, б.

В теории случайных процессов подобная статистическая связь оценивается с помощью автокорреляционной функции случайного сигнала (АКФ), которая вычисляется по формуле.

где p_x(&&2, t_xyt₂) — двумерная ПРВ сигнала.

Различают стационарные и нестационарные случайные сигналы. Если о сигнал X (t) стационарный, то его математическое ожидание (7.88) и дисперсия (7.90) не зависят от времени, а его АКФ (7.91) зависит не от двух аргументов t_x и t₂, а только от одного аргумента — величины временного промежутка x = t₂-t_x, т. е. т₀ = 0, D₀ =D_X = const, а.

X (t) X{t)

где Отсюда следует, что стационарный случайный сигнал является однородным по времени, т. е. его статистические характеристики не изменяются при изменении точки отсчета времени. Такие сигналы характерны для установившегося режима измерений.

Если, помимо стационарности, случайный сигнал является еще и эргодичсским, то его автокорреляционную функцию можно вычислить по формуле, не требующей знания двумерной ПРВ p_x{x_vx_{2 v}t₂)

так как в этой формуле в качестве x (t) можно использовать любую реализацию сигнала. Дисперсию такого (стационарного и эргодического) сигнала можно вычислить по формуле.

Достаточным условием эргодичности случайного сигнала является стремление к нулю его АКФ R_x(т) при неограниченном росте временного сдвига т [2].

АКФ случайного сигнала часто нормируется к дисперсии. В этом случае безразмерная нормированная АКФ вычисляется по формуле.

На рис. 7.15 показан типичный график такой АКФ.

Рис. 7.15. Нормированная АКФ случайного сигнала Зная эту функцию, можно определить интервал корреляции т_к, т. е. время, по истечении которого значения случайного сигнала можно считать статистически не зависящими между собой,.

Из этой формулы следует, что площадь под графиком нормированной АКФ совпадает с площадью прямоугольника единичной высоты, имеющего в основании удвоенный интервал корреляции 2т_к (см. рис. 7.15).

Поясним физический смысл интервала корреляции [2]. Если известна информация о поведении центрированного случайного сигнала «в прошлом», го возможен его вероятностный прогноз на время порядка интервала корреляции т_к. Однако прогноз случайного сигнала на время, превышающее интервал корреляции, окажется недостоверным, так как мгновенные значения сигнала, столь «далеко» отстоящие одно от другого во времени, являются практически некоррелированными (т.е. статистически не зависящими между собой).

В рамках спектрально-корреляционной теории случайных процессов для описания свойств стационарного случайного сигнала достаточно знать только его АКФ R_x = R_x(т) или только его энергетический спектр сигнала S_x =S_X(со). Эти функции связаны формулами Винера — Хинчина [2].

т.е. каждой функции частоты S_x(со) соответствует вполне определенная функция временного сдвига R_x(т) и, наоборот, каждой АКФ соответствует вполне определенная спектральная плотность мощности стационарного случайного сигнала. Поэтому, зная энергетический спектр флуктуационо ной составляющей X (t) случайного сигнала (7.87) 5_v(co), можно определить АКФ этой составляющей R_x(т) и наоборот. Это подтверждает то, что частотные и корреляционные характеристики стационарного случайного сигнала тесно связаны.

Автокорреляционная функция R_x(т) характеризует статистическую связь между значениями стационарного случайного сигнала в моменты времени, отстоящие один от другого по оси времени на величину т. Чем меньше эта связь, тем меньше соответствующее значение АКФ. Энергетический спектр 5_д.(со) характеризует распределение по оси частот энергий гармонических составляющих случайного сигнала.

Зная энергетический спектр 5.(со) или АКФ R_x(т) флуктуационной о.

составляющей сигнала (7.1) X (t), можно вычислить ее дисперсию D_x и эффективную ширину спектра (полосу частот) ?1_Х по формулам.

где S_xm^ = тпах{5.((о)} — ордината точки максимума на графике функции ^(со).

Эффективная ширина спектра случайного сигнала ?1_Х аналогична активной ширине спектра Q_x детерминированного сигнала, т. е., как и последняя, определяет такой диапазон частот, в пределах которого сосредоточена подавляющая часть средней мощности сигнала (см. (7.55)). Поэтому по аналогии с (7.55) ее можно определять из соотношения.

где k — постоянный коэффициент, определяющий долю мощности случайного сигнала, приходящуюся на полосу частот со < ?1_Х (например, к = 0,95).

На рис. 7.16 дана графическая иллюстрация формул (7.100) и (7.101).

Рис. 7.16. К определению эффективной ширины спектра (полосы частот).

случайного сигнала:

а — по основанию прямоугольника, имеющего высоту S_{x max} и площадь пГ)_х

6 — по основанию криволинейной трапеции площади knD_x; в — по основанию прямоугольника площади пЬ_х и высоты S_x._11ах, примыкающего к средней частоте спектра Р так, что со — р| < Q_х/2

В первом случае полоса частот^{совпадает} с основанием прямоугольника, имеющего высоту S_xmax и площадь nD_x (рис. 7.16, а), во втором — с основанием криволинейной трапеции, имеющей площадь knD_x (рис. 7.16, б). Полоса частот узкополосного случайного процесса располагается в области |со — р| < Q._x /2, где Р — средняя частота спектра (рис. 7.16, в), и вычисляется из соотношения.

Эффективную ширину спектра случайного сигнала можно определить множеством других способов [2, 15]. В любом случае величины x_fi и Q_v должны быть связаны соотношением, подобным соотношению тхОзс ~ 2л, имеющему место для детерминированных сигналов (см. подпараграф 7.3.3).

В табл. 7.3 приведены спектрально-корреляционные характеристики для трех стационарных случайных сигналов.

В первом пункте таблицы приведены характеристики так называемого белого шума — специфического случайного сигнала, значения которого, расположенные сколь угодно близко друг к другу, — независимые случайные величины. АКФ белого шума имеет форму 8-функции, а его энергетический спектр содержит гармонические составляющие любых (в том числе сколь угодно высоких) частот. Дисперсия белого шума — бесконечно большое число, т. е. мгновенные значения такого сигнала могут быть сколь угодно большими, а его интервал корреляции равен нулю.

Во втором пункте таблицы указаны характеристики низкочастотного шума, а в третьем пункте — узкополосного шума. Если ЗР² < а², то характеристики этих шумов близки.

Случайный сигнал называется узкополосным, если частота ?2_V значительно меньше средней частоты спектра р. Узкополосный случайный сигнал можно записать в виде (см. (7.12))

где a (t), cp (f) — огибающая и фаза, которые описываются медленно меняющимися (по сравнению с cos (fk)) функциями времени.

Таблица 73

Характеристики стационарных случайных сигналов.

Свойства спектрально-корреляционных характеристик стационарного случайного сигнала аналогичны свойствам амплитудного спектра и АКФ детерминированного сигнала. В частности, R_x{т) и 5_г(со) — четные функции, R_x(0)> R_x(t) и т. д. Есть и различия: например, АКФ детерминированного сигнала ^vE_v(x) характеризует связь сигнала m_x.(t) и его копии m_x(t — т),.

о о, а АКФ случайного сигнала Ч.(т) — связь значений сигнала X (t) и X (t- т) в разные моменты времени.

Различие между функциями G_v(co) и 5_т(со) заключается в том, что функция 5_г(со) представляет собой не точный частотный образ случайного о сигнала X (t), а усредненную характеристику частотных свойств целого ансамбля различающихся между собой реализаций этого сигнала. Этот факт, а также отсутствие в энергетическом спектре 5_Л.(ш) информации о фазах гармонических составляющих случайного сигнала не позволяет восстанавливать по нему форму этого сигнала.

Из формул (7.97) и (7.98) следует, что функции 5_х.(со) и R_x(т) связаны преобразованиями Фурье, г. е. (см. (7.46)).

Поэтому, чем шире спектр случайного сигнала (чем больше Q_x), тем уже его АКФ и меньше интервал корреляции т_к.