Структурные схемы линейных цифровых фильтров

Цифровые фильтры делят на нерекурсивные и рекурсивные. Термин «рекурсивный» связан с математическим приемом — рекурсией — циклическим обращением к данным, полученным на предыдущих этапах математических операций.

Нерекурсивные цифровые фильтры. В нерекурсивных, или трансверсальных (поперечных — с точки зрения структуры их графического построения), цифровых фильтрах отклик зависит только от значений входной последовательности и для формирования k-ro выходного отсчета используются лишь предыдущие значения входных отсчетов. Такие фильтры обрабатывают входной дискретный сигнал {и_к} в соответствии с алгоритмом.

где а₀, a_v а₂…а_т — действительные постоянные (весовые) коэффициенты;

т — порядок нерекурсивного фильтра, т. е. максимальное число запоминаемых чисел.

Аналитическую сторону смысла алгоритма (6.32) наглядно характеризует структурная схема цифрового фильтра, представленная на рис. 6.20.

Рис. 6.20. Структурная схема нерекурсивного цифрового фильтра.

Основой цифрового фильтра являются элементы задержки входной цифровой последовательности {и_к} на интервал дискретизации Z ¹ (согласно свойствам г-преобразования задержка дискретной последовательности на один интервал t соответствует умножению ее 2-преобразования на z поэтому элементы памяти, осуществляющие такую задержку, обозначены на схеме «Z ‘»), а также масштабные (весовые) блоки а_т, выполняющие в цифровой форме операции умножения на соответствующие коэффициенты. Элементы задержки — это ячейки памяти. Сигналы с масштабных блоков поступают в сумматор (+), на выходе которого образуется последовательность отсчетов выходного сигнала {у_к}.

Отметим, что формулы (6.30) и (6.32) тождественны и поэтому коэффициенты а₀, a_v а₂,…, а_т совпадают с соответствующими отсчетами импульсной характеристики цифрового фильтра /г₀, /г, /г₂,…, h_rn.

Пример 6.13.

Импульсная характеристика нерекурсивного цифрового фильтра.

Определим алгоритм работы фильтра.

Решение

Подставив в формулу (6.31) соответствующие отсчеты h_k, получим алгоритм:

Нерекурсивный фильтр (см. рис. 6.20) можно реализовать, если его импульсная характеристика содержит ограниченное число отсчетов. В связи с этим нерекурсивные фильтры принято называть фильтрами с конечными импульсными характеристиками (КИХ-фильтрами). Примерный вид импульсной характеристики цифрового КИХ-фильтра показан на рис. 6.18, а.

Системную функцию нерекурсивного цифрового фильтра определим, применив 2-преобразование к обеим частям уравнения (6.32):

Отсюда находим, что системная (Ьункния имеет вил.

и является дробно-рациоиалыюй функцией переменной 2.

Рекурсивные цифровые фильтры. Возможности нерекурсивного цифрового фильтра существенно расширяются при введении в его схему обратных связей, которые позволяют формировать к-и выходной отсчет, используя предыдущие значения как входного, так и выходного дискретных сигналов:

Так как при вычислениях используются предыдущие отсчеты выходного сигнала, в схеме присутствуют обратные связи. Такие фильтры называют рекурсивными.

В формуле (6.34) коэффициенты а₀, a_v а_т … а_ш характеризуют нерекурсивную часть, а коэффициенты b_v b_v …, b_n — рекурсивную часть алгоритма цифровой фильтрации, причем последние не равны нулю одновременно. Порядок фильтра определяется коэффициентом m нерекурсивной части алгоритма обработки. Структурная схема рекурсивного цифрового фильтра показана на рис. 6.21.

Системную функцию рекурсивного цифрового фильтра определим, применив 2-преобразование к обеим частям выражения (6.34):

Основное достоинство рекурсивных фильтров — существенное сокращение числа элементов по сравнению с их числом в нерекурсивных фильтрах, выполняющих те же операции. Это позволяет реализовать цифровые фильтры с импульсными характеристиками, имеющими теоретически бес;

Рис. 6.21. Структурная схема рекурсивного цифрового фильтра конечное число отсчетов (рис. 6.18, б). Поэтому рекурсивные цифровые фильтры называют фильтрами с бесконечными импульсными характеристиками (БИХ-фильтрами).

Структурную схему фильтра, показанную на рис. 6.21, называют прямой формой реализации рекурсивного фильтра, и она не единственно возможная.

Пример 6.14.

Вычислим импульсную характеристику рекурсивного цифрового фильтра, описываемого разностным уравнением 1-го порядка h_k = 0,5y_t., + u_k.

Решение

Пусть г/, = 0, и_к = 6_к (первое равенство очевидно в силу условия физической реализуемости; второе — сигнал на входе при определении импульсной характеристики). Тогда выходной сигнал фильтра у_к представляет собой его импульсную характеристику И_к, или у_к = И_к = 0,5h_k + 8_к. Здесь параметр 8_к = 1; 0; 0;… Отсюда А₀ = 0,5А_, + 5₀ = 1; А, = 0,5А₀ + 8; = 0,5; h₂ = 0,5А, = 0,25.

Нетрудно заметить, что И_к = (0,5)*.

Пример 6.15.

Определим структуру рекурсивного цифрового фильтра с системной функцией

Решение

Прямым делением числителя на знаменатель получаем.

Методом обратного 2-преобразования находим h_k — {1, 1, 1,1, 1}.

Данный рекурсивный цифровой фильтр является КИХ-фильтром.

Пример 6.16.

Определим структуру цифрового фильтра с системной функцией Н (г) = = 1/(1 -2 2).

Решение

Методом обратного г-преобразования находим h_k = 2*. Данный рекурсивный цифровой фильтр является БИХ-фильтром.

Пример 6.17.

Построим цифровой фильтр, соответствующий аналоговой цепи в виде колебательного контура, имеющего импульсную характеристику h (t) = е '" cos co₀t. Решение

Импульсная характеристика цифрового фильтра будет представлена следующим обназом:

Системная функция цифрового фильтра с этой импульсной характеристикой Здесь а₀ = 1, а, = е ^aA,cosoj₀A;, А, = 2е «^{, v}cosco₀Af, b₂ = -е ^{2a, v}.

Данной системной сЬункпин отвечает уоавнение.

Структурная схема рекурсивного цифрового фильтра для такого алгоритма показана на рис. 6.22.

Рис. 6.22. Структурная схема рекурсивного цифрового фильтра к примеру 6.17.