Математическая модель электрической цепи постоянного тока

Как указывалось в параграфе 1.2, основными законами, используемыми для описания свойств, анализа и расчета электрических цепей, являются первый и второй законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда, согласно которому в любом узле заряд одного знака не может ни накапливаться, ни убывать. Согласно первому закону Кирхгофа (1.2.2) алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю:

Применительно к схемам замещения с источниками тока первый закон Кирхгофа можно формулировать таким образом: алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных с узлом, равна алгебраической сумме токов источников, соединенных с этим узлом:

При этом токи в левой части, направленные от узла, следует записывать со знаком плюс, а токи, направленные к узлу, — со знаком минус. Такое правило согласовано с направлением внешней нормали к замкнутой поверхности, принятым в математике. В правой части токи источников записывают со знаком плюс, если они направлены к у злу. Различие связано с тем, что базовым является соотношение (1.6.1а) независимо от того, создается ли ток в ветви источником тока в этой ветви или источниками в других ветвях. Уравнения (1.6.16) называют узловыми.

Второй закон Кирхгофа (1.2.3) является следствием закона сохранения энергии, в силу которого изменение потенциала в замкнутом контуре равно нулю. Изменение потенциала между двумя точками участка цепи характеризуется разностью потенциалов или напряжением. Поэтому, согласно второму закону Кирхгофа, алгебраическая сумма напряжений всех участков замкнутого контура равна нулю:

Применительно к схемам замещения с источниками ЭДС второй закон Кирхгофа можно сформулировать таким образом: алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур,.

Уравнения, подобные (1.6.26), называют контурными.

Для однозначного описания состояния цепи этих уравнений недостаточно. Необходимо привлекать дополнительно компонентные уравнения, связывающие ток и напряжения на каждом элементе.

Для линейных резистивных элементов таким уравнением является закон Ома. С этим дополнением получаем удобную форму второго закона Кирхгофа.

При составлении уравнений (1.6.2а, б, в) слагаемые записывают со знаком плюс в случае, когда направление обхода контура совпадает с направлением соответственно напряжения, тока или ЭДС; в противном случае слагаемые записывают со знаком минус.

Для нелинейного элемента связь напряжения и тока выражается нелинейной функцией.

Вторым законом Кирхгофа часто пользуются для определения напряжения между любой парой узлов электрической цепи. Определим, например, напряжение и_хз между узлами 1 и 3 схемы рис. 1.5.1. По второму закону Кирхгофа Л_Х1_Х + и_хз = Е_х, отсюда и_хз = Е_х — Л_Х1_Х.

Математическая модель цепи постоянного тока однозначно описывается системой независимых алгебраических уравнений, составленной по законам Кирхгофа и компонентным уравнениям. Количество уравнений должно быть равно количеству токов ЛГ_Т. Для линейных цепей получается соответственно система линейных уравнений. Независимость уравнений в этой системе обеспечивается определенными правилами выбора узлов и контуров. Для узловых уравнений можно использовать (ЛГ_у — 1) при количестве узлов в схеме М_у, т. е. независимых узловых уравнений можно записать п_у = N_y — 1. Остальные уравнения — контурные: п_к = Ы_т - п_у= Ы_т — Ы_у + 1. Контурные уравнения будут независимыми, если в каждом уравнении будет включено напряжение (хотя бы на одном элементе), не входящее в другие уравнения.

Описанная модель применима для цепи любой сложности и позволяет решать задачи анализа (определение состояния цепи при заданных параметрах ее элементов) и синтеза (определение параметров цени для заданного состояния). Однако ее использование формализованно, скрывает физику процессов и в простых случаях приводит к неоправданным трудностям в расчетах.

В электротехнике разработано множество методов расчетов, основанных на описанной модели, которые позволяют, используя особенности цепи, свести задачу к набору типовых задач с готовыми решениями. Упрощение расчетов позволяет сформулировать свойства цепей и раскрыть физику процессов в реальных цепях. В следующем разделе рассматриваются разветвленные цени с одним источником.

Упражнение 1.6.1. Напряжение на участке цепи

Чему равно показание вольтметра в схеме рис. 1.6.1, если Е= 20 В, = 10 Ом?

Рис. 1.6.1. К упражнению 1.6.1