Электрический поверхностный эффект в проводнике круглого сечения с нелинейными свойствами

На рис. 3.15 изображен проводник круглого сечения и радиуса а. Длина проводника в направлении оси oz неограниченно велика. Проводник изготовлен из ферромагнитного материала, удельная электрическая проводимость которого постоянна, а ферромагнитные свойства описываются кривой намагничивания по первым гармоникам.

В направлении оси oz проводник обтекается синусоидальным током I, созданным сторонним источником. В этих условиях в объеме проводника возникает одномерное плоскопараллельное электромагнитное поле, причем вектор электрической напряженности Е имеет только z-составляющую Ё₂, вектор магнитной напряженности Н имеет только «-составляющую Н_а (в дальнейшем для упрощения записи индексы z и, а опущены). Электрическая и магнитная напряженности являются функциями координаты г.

Поставим задачу получить аналитические выражения для электрической и магнитной напряженностей и на их основе сформировать каскадную схему замещения для расчета электромагнитного поля и эквивалентных интегральных параметров ферромагнитного проводника круглого сечения. Воспользуемся теми же приемами, с помощью которых решались задачи, описанные выше.

Рис. 3.15.

На рис. 3.16 изображена расчетная область, в которой выделено элементарное расчетное кольцо шириной h. На границах кольца обозначены составляющие векторов Ё и Н:

Магнитная проницаемость кольца постоянна и равна ц, удельная электрическая проводимость кольца равна у, частота тока равна со.

Введем следующие обозначения. Ток, пронизывающий элементарное кольцо, назовем 1₃. В соответствии с законом полного тока он равен:

Ток, сцепленный с контуром радиуса г_ь назовем /_а. В соответствии с законом полного тока он равен.

Ток, сцепленный с контуром радиуса г₂, назовем /₂:

откуда.

Рис. 3.16.

откуда Выражение (3.62) эквивалентно уравнению по первому закону Кирхгофа, записанному для узла на Т-образном участке цепи, изображенном на рис. 3.17.

Подставляя (3.59) и (3.61) в выражение (3.57), получаем равенство.

Рис. 3.17.

Следовательно, для формирования схемы замещения элементарного расчетного кольца необходимо получить четырехполюсник, входным током которого был бы ток i_lt а выходным током был бы /₂. Если вести расчет на единицу длины ферромагнитного проводника в направлении оси oz, аналогом входного напряжения четырехполюсника будет служить электрическая напряженность Ё_ь а аналогом выходного напряжения — электрическая напряженность Ё₂.

Известно, что в объеме проводника вектор электрической напряженности удовлетворяет уравнению Гельмгольца.

Общее решение уравнения (3.63) представляет собой линейную комбинацию цилиндрических функций:

где Jo (jpr) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка; NoUpr) — функция Бесселя второго рода (функция Неймана) нулевого порядка; С_ь С₂ — постоянные интегрирования.

Магнитная напряженность в элементарном кольце определяется из второго уравнения Максвелла:

В теории цилиндрических функций известны соотношения, связывающие функции Бесселя нулевого и первого порядка:

следовательно, выражение (3.65) примет вид.

Аналитические выражения для параметров схемы замещения элементарного расчетного кольца (рис. 3.17) получим на основе анализа решений (3.64) и (3.66). Сопротивления Z_b Z₂, и Z₃ должны однозначно характеризовать схему замещения при любых значениях входных и выходных токов и напряжений. Наиболее просто и наглядно эти сопротивления можно определить, если рассматривать схему замещения как некоторую абстрактную схему теории цепей, работающую в режимах прямого и обратного холостого хода.

Рассмотрим режим прямого холостого хода. В этом режиме выходной ток четырехполюсника, изображенного на рис. 3.17, равен нулю (/₂ =0), и решение (3.66) принимает вид.

Из (3.67) выразим постоянную С₂:

Подставив выражение (3.68) в решения (3.64) и (3.66), с учетом (3.58) получим:

В теории цилиндрических функций известно следующее соотношение:

следовательно, выражение (3.71) примет вид:

Обратимся к схеме на рис. 3.17. Поскольку /₂ =0, электрические напряженности Ё_х и Ё₂ определяются выражениями:

Подставляем (3.69) и (3.73) в выражение (3.75) и определяем сопротивление Z₃:

Подставляем (3.69) и (3.70) в выражение (3.74) и определяем сумму сопротивлений сопротивление Z_x и Z₃:

Вычитаем (3.76) из (3.77) и определяем сопротивление Z_x:

Четырехполюсники, соответствующие расчетным кольцам, должны быть включены в каскад, в результате чего будет синтезирована каскадная Е-Н-схема замещения проводника круглого сечения.

На оси проводника (при г = 0) магнитная напряженность равна нулю, поэтому входная ветвь крайнего левого четырехполюсника должна быть обесточена.

На поверхности проводника (при г = а) в соответствии с законом полного тока магнитная напряженность равна:

Аналогично из режима обратного холостого хода (при i_x = 0) определяется сопротивление Z_x

Поэтому к правым зажимам четырехполюсника, примыкающего к поверхности проводника, следует подключить источник тока, равный току /, обтекающему проводник.

Каскадная схема замещения проводника в случае трех расчетных колец представлена на рис. 3.18.

Рис. 3.18.

Система уравнений по законам Кирхгофа для этой схемы имеет вид:

Нелинейные сопротивления в системе уравнений (3.81) функционально зависят от магнитных напряженностей Н_ъ Н₂, Н₃. При расчете сопротивлений магнитные напряженности Я] и Н₂ следует вычислять по выражениям (3.59) и (3.61). Учтем, что магнитная напряженность Я₃ определяется током в расчетном кольце /₃ (см. рис. 3.16), следовательно, с допустимой на практике точностью магнитную напряженность Я₃ можно рассчитать через средний радиус расчетного кольца:

При вычислении сопротивлений четырехполюсника, примыкающего к оси проводника, следует учесть, что функции Неймана при нулевом аргументе не определены. Поэтому меньший радиус расчетного кольца надо выбирать весьма малым, но не равным нулю.

После решения системы уравнений (3.81) определяются электрические напряженности на границах расчетных колец:

Комплексная мощность, выделяющаяся в проводнике, в случае трех расчетных колец (на единицу длины в направлении оси oz):

Комплексное внутреннее сопротивление проводника на единицу длины:

Рассмотренную каскадную схему можно использовать для расчета электромагнитного поля в ферромагнитной трубе, обтекаемой синусоидальным током. На внутренней поверхности трубы в соответствии с законом полного тока магнитная напряженность равна нулю. Следовательно, левые зажимы четырехполюсника, примыкающего к внутренней поверхности трубы, должны быть разомкнуты. К правым зажимам четырехполюсника, примыкающего к внешней поверхности трубы, следует подключить источник тока с током /.