Температурное поле в неограниченной пластине с внутренним тепловыделением

Стационарное температурное поле

На рис. 6.1 изображена пластина толщиной 2а. В направлении осей ох и оу размеры пластины значительно превышают толщину, так что пластину можно считать неограниченной. В пластине имеются внутренние источники тепла, их объемная плотность равна q_v. Известна также теплопроводность пластины А. Полагаем, что теплопроводность является функцией температуры, а объемная плотность внутренних источников тепла является функцией координаты z.

На поверхностях пластины известны условия теплообмена — это граничные условия первого, второго или третьего рода. Требуется получить аналитические выражения для температуры и плотности теплового потока и на их основе сформировать каскадную схему замещения для расчета стационарного температурного поля в пластине.

При данных условиях стационарное температурное поле в пластине описывается одномерным уравнением теплопроводности:

Если на поверхностях пластины температуры одинаковы, кривая температуры обладает четной симметрией, а кривая плотности теплового потока — нечетной симметрией относительно оси пластины.

Рис. 6.1.

Для решения поставленной задачи воспользуемся теми же принципами, что и в задачах о расчете электромагнитного поля:

• 1. Расчетную область представим в виде совокупности п параллельных полос, каждая к-я из которых имеет ширину h_k, и теплопроводность А*. Значение теплопроводности А* для каждой к-й полосы неизменно, но величина А* неизвестна. Объемная плотность внутренних источников тепла для к-й полосы постоянна и равна q_vk.
• 2. Для каждой расчетной полосы запишем общее решение стационарного уравнения теплопроводности и выражение для плотности теплового потока.
• 3. Приведем полученные решения к стандартным уравнениям четырехполюсника (А_к, В_к, С_к, D_k) и сформируем для него эквивалентную трехэлементную T-Q-схему замещения.
• 4. Исходя из условий непрерывности температуры и вектора плотности теплового потока на границах смежных расчетных полос, сформируем нелинейную каскадную схему замещения для всего исследуемого объема.
• 5. Для имеющейся нелинейной каскадной схемы запишем систему уравнений Кирхгофа и рассчитаем ее как систему нелинейных алгебраических уравнений. В качестве расчетного инструмента на этом этапе удобно использовать средства компьютерной математики.

На рис. 6.2 в исследуемой области (0-я расчетная полоса z_l2 (в дальнейшем индекс к для упрощения записи опущен). Ширина полосы h-z₂-z₁. На границах полосы обозначены температуры и плотности теплового потока: при z = z₁T = T₁, q_x = q_u; при z = z₂T = T₂, q, = q₎₂.

Поскольку теплопроводность и плотность внутренних источников тепла — величины постоянные в элементарной расчетной полосе, преобразуем дифференциальное уравнение (6.1):

Решение уравнения (6.2) для элементарной расчетной полосы сформируем так, чтобы оно содержало два слагаемых и при z = z_x обращалось в нуль одно слагаемое, а при z = z₂ — другое:

Рис. 6.2.

Плотность теплового потока в элементарной полосе:

Температуры Т_г и Т₂ на границах полосы (при z = z_} и z = z₂) равны:

Решая совместно (6.5) и (6.6), определим постоянные С_ь С₂: Плотности теплового потока на границах полосы равны:

Преобразуя выражения (6.9) и (6.10), получим систему уравнений.

Системе уравнений (6.11) может быть поставлена в соответствие система уравнений активного симметричного четырехполюсника (рис. 6.3), в котором аналогом напряжения является температура, а аналогом тока — плотность теплового потока.

Сопротивления Z_x, Z₂ и источник q₀ в схеме замещения четырехполюсника определяются из режимов холостого хода и короткого замыкания:

Рис. 6.3.

Если внутренние источники тепла отсутствуют, четырехполюсник ведет себя как плоская стенка при граничных условиях

h

первого рода с термическим сопротивлением —, что полностью соответствует теории теплопередачи¹. ^.

Поперечное сопротивление четырехполюсника бесконечно велико, так как коэффициент при Г₂ во втором уравнении системы (6.11) равен нулю. Поэтому источником в четырехполюснике является источник тока, а не источник ЭДС.

Последовательно с источником q₀ можно включить любое сопротивление Z₃ конечной величины, и это никак не скажется на распределении плотностей теплового потока в схеме замещения. Вместе с тем, от величины сопротивления Z₃ зависит разность потенциалов Г₀ на выводах источника.

Потребуем, чтобы эта разность потенциалов была равна средней температуре в элементарной расчетной полосе:

¹ Исаченко В. П., Осипова В. А., Сукомел А. С. Теплопередача: учеб, пособие для вузов. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Энергия, 1975.

Уравнение по второму закону Кирхгофа для левого контура в схеме замещения (рис. 6.3) имеет вид.

Из (6.15) определяется неизвестное сопротивление Z₃:

Плотность теплового потока на оси симметрии пластины равна нулю. Поэтому при формировании каскадной схемы входные зажимы четырехполюсника, примыкающие к оси симметрии, необходимо оставить разомкнутыми.

К зажимам, примыкающим к поверхности пластины, следует подключить источник, определяемый граничными условиями первого, второго или третьего рода.

При граничном условии первого рода на поверхности пластины поддерживается постоянная температура Т_с. Это граничное условие моделируется с помощью источника ЭДС, равного Т_с и направленного снизу вверх (рис. 6.4, а).

При граничном условии второго рода на поверхности пластины поддерживается постоянный тепловой поток плотностью q_x0. Это граничное условие моделируется с помощью источника тока, равного q_A0 (рис. 6.4, б).

Граничное условие третьего рода описывает конвективный теплообмен на поверхности пластины:

где Т_с — температура поверхности пластины; Т_ж — температура омывающей жидкости; а (Т) — коэффициент теплоотдачи.

Коэффициент теплоотдачи может быть как постоянной величиной, так и функцией температуры.

Граничное условие третьего рода моделируется с помощью источника ЭДС Т_ж и включенного с ним последовательно сопротивления Z_K0HB (рис. 6.4, в). Сопротивление Z_KOHB — это величина, обратная коэффициенту теплоотдачи:

Рис. 6.4.

При расчете нелинейной каскадной схемы замещения необходимо учитывать, что нелинейные сопротивления являются функцией не напряжения или тока, а потенциала относительно общего провода цепи, так как именно потенциал является аналогом температуры в каскадной схеме. Поэтому система уравнений Кирхгофа должна быть записана так, чтобы неизвестными в ней были потенциалы. Нелинейные сопротивления в системе уравнений будут зависеть от средней температуры слоя Т₀, определяемой выражением (6.14).

Приведем пример составления системы уравнений Кирхгофа для трех расчетных слоев и граничного условия третьего рода на поверхности (рис. 6.5).

Рис. 6.5.

Система состоит из пяти независимых уравнений. В качестве неизвестных в системе уравнений выступают потенциалы:

Нелинейная система уравнений по законам Кирхгофа имеет следующий вид:

После решения системы уравнений (6.19) относительно неизвестных потенциалов определяются температуры на границах расчетных полос: