Особенности анализа редких событий

Различного рода катаклизмы, природные и техногенные катастрофы, другие редкие события прошлых веков превратились в фундаментальную системную закономерность конца ХХ-начала XXI в. Человек своей деятельностью стал вмешиваться в глобальные природные и общественные процессы, ухудшая состояние окружающей среды, содействуя глобализации экономики и политики, развитию международного терроризма. Специально запущенные компьютерные вирусы и опытные хакеры могут вызвать глобальные финансовые и экономические катаклизмы, временно разрушить банковские системы, нарушить авиационное и (или) железнодорожное сообщение, вывести из строя объекты энергоснабжения и другие жизнеобеспечивающие системы.

Заметно увеличивается риск возникновения опасных ситуаций и снижается безопасность людей (20). Это обусловлено, в первую очередь, поведением современного человеческого общества, которое стало создавать все более сложные технические, экономические, социальные, политические и другие искусственные системы, которые из-за своей сложности стали более уязвимыми и менее надежными. Сегодня человечество окончательно осознало ту угрозу, которую несут стихийные бедствия, природные и техногенные катастрофы, войны, конфликты.

Например-.

• 1) вероятность аварии на буровых платформах, стоящих в Северном море и в Мексиканском заливе, очень низка: по расчетам, одна авария в 20 миллионов лет. Однако вопреки этому уже произошли крупные аварии на 15 буровых платформах и в том числе в апреле 2010 г. в Мексиканском заливе;
• 2) расчетная вероятность, связанная с возможностью переполнения водохранилища Зейской ГЭС, составляла 0,001. Однако в 2007 г. в результате обильных дождей это событие произошло.

Уровень риска возникновения опасных ситуаций, который устраивает общество в данное время с точки зрения допустимого ущерба и затрат, называется приемлемым или допустимым риском. Риски больше допустимого опасны для общества, поэтому их следует выявлять и предупреждать, что позволяет снизить величину ущерба до 10% от ожидаемого.

Известно, что в природе, обществе и искусственных системах время от времени возникают экстремальные ситуации, когда события развиваются быстро, почти мгновенно. Потенциально опасные объекты и процессы, которые могут вызвать аварии, катастрофы и катаклизмы, изучаются при помощи специальной математической «теории катастроф», выявляющей физику, механику, экономику катастроф и определяющей картину катастроф от их зарождения до появления.

Как правило, для большинства технических систем, прогрессивно отсталых и неустойчивых систем характерны нормальное (гауссово) и экспоненциальное распределения случайных параметров с «короткими хвостами». В то же время для социально-экономических систем при нормальном прогрессирующем их развитии, для техногенных и природных катастроф характерно степенное (паретово) распределение с «тяжелыми (или длинными) хвостами».

Например, распределение максимумов мощности электрической нагрузки стабильно работающих потребителей близко к нормальному и их численные значения, как правило, укладываются в диапазон ±3о. Однако распределение творческих способностей людей ни в коей мере этому распределению не подчиняется. Чем больше учитывается человеческий социально-экономический или организационный фактор, тем чаще встречается область негауссовых распределений. Так, крупные природные и техногенные аварии, катастрофы, бедствия подчиняются «длиннохвостым» распределениям (59−62J.

Это вызвано тем, что все природные и техногенные системы, склонные к крупным авариям, катастрофам, кризисам, — весьма сложны и содержат множество взаимосвязанных элементов, подверженных воздействию многих случайных факторов с широким спектром значений параметров. Их описание не может быть сведено к простой сумме большого числа независимых слагаемых и нормальному закону распределения. Крупные аварии, катастрофы, эпидемии невозможно разложить на набор независимых подпроцессов. Здесь требуется их целостное (системное) исследование и описание.

Поскольку за пределами Зо при нормальном законе распределения вероятность возникновения случайных событий настолько мала, что часто ею пренебрегают. В этих случаях рекомендуется [59−62J использовать экспоненциальный или степенной закон распределения, которые относят к классу распределений с «тяжелыми (или длинными) хвостами». Так как маловероятные аварии и катастрофы в ограниченном периоде времени весьма возможны, пренебрежение значениями случайных величин, попадающих в «хвост» таких распределений, уже недопустимо. качестве иллюстрации изложенного на рис. 3.11 показан типичный вид распределений плотностей вероятностей случайной величины при нормальном, экспоненциальном и степенном законах распределения, откуда видно, что «хвост» степенного распределения существенно «тяжелее». Алгоритмы прогноза катастроф, кризисов и язык их описания изложены в (40, 59].

Рис. 3.11. Сравнительные плотности нормального (1), экспоненциального (2) и степенного (3) законов распределения случайной величины

Временные ряды, характеризующиеся медленным уменьшением числа редких событий, следует представлять степенным распределением. Для него вероятность катастрофических последствий может на порядок и больше превышать вероятности, вычисленные на основании экспоненциального или нормального распределения. Так, американская статистика торнадо, землетрясений, наводнений, ураганов за прошедший век показывает, что данные наблюдений с достаточно хорошей точностью починяются степенной статистике.

Разница между нормальным и степенным распределениями имеет не формальный, а принципиальный характер. Если статистика случайной величины описывается гауссовским законом, то в более чем 99,7% событиях величина отклоняется от среднего значения менее чем на 3<�т (см. п. 7.9), а, скажем, за границу 5а выходит и вовсе реже, чем в одном случае из миллиона. Поэтому очень редкими событиями, когда случайная величина достигает значений много больших среднего, можно пренебречь, считая их практически невероятными.

Примерно такие соотношения имеют место для любого распределения из экспоненциального семейства. Статистика, описываемая степенными распределениями, отличается тем, что редкие события, приходящиеся на «хвост» распределения, происходят не настолько редко, чтобы их можно было не учитывать. Именно с этой ситуацией сталкиваются при оценке вероятностей катастрофических наводнений. Если использовать для стандартной обработки временных гидрологических рядов распределение из семейства экспоненциальных, как рекомендуют современные строительные нормы и правила, очевидно, что катастрофические наводнения будут для нас всегда неожиданными. Наводнения исключительной силы последних лет убедительно показали, что рассчитывать защитные дамбы, плотины и другие гидротехнические сооружения необходимо на основании иных вероятностных закономерностей.

Например, в Нидерландах к началу 20-х гг. XX в. правительственный комитет по защите от наводнений установил уровень защитных сооружений в 390 см — такой подъем воды на побережье никогда не наблюдался. Гидротехники не стали ориентироваться на столь редкое событие и приняли величину 340 см с вероятностью достижения этого уровня раз в 70 лет. Это значение было всего на 12 см выше абсолютного максимума, зарегистрированного для периода примерно в 25 лет. Стремление удешевить строительство обернулось трагедией 1 февраля 1953 г., когда ураган унес около 2000 жизней и вызвал огромные разрушения. Ныне в Нидерландах гидротехнические сооружения решено строить в расчете на максимальный уровень 500 см, возможный лишь раз в 10 000 лет.

С точки зрения описания случайных процессов это означает, что распределения вероятностей случайных величин, характеризующих наводнения (уровни воды в реке, объемы стока за половодье, максимальные расходы воды и т. п.), являются распределениями с «тяжелыми хвостами». В терминах оценки безопасности и риска «хвост» распределения соответствует так называемым гипотетическим наводнениям, возможность которых на практике пока не учитывается. Наличие степенного закона распределения вероятностей в корне изменяет наши представления о возможных масштабах наводнений.

Еше несколько примеров. Такое наводнение, как знаменитое наводнение в Санкт-Петербурге, произошедшее 19 ноября 1824 г. (уровень воды в Неве на 421 см выше ординара), должно происходить один раз в 667 лет с точки зрения степенного распределения. По гамма-распределению это событие практически невозможно (происходит реже, чем один раз в 20 000 лет). Наводнение, случившееся 23 сентября 1924 г. (уровень воды в Неве 380 см), имеет вероятность 0,0039 (раз в 256 лет) по степенному распределению и 0,36 (раз почти в 3 000 лет) по гамма-распределению. Но оба эти события имели место.

Летом 2002 г. на реках Северного Кавказа (Кубани, Тереке, Куме, Подкумке) наблюдался аномальный гидрологический режим. Расчеты, выполненные на основе разных распределений максимальных расходов воды, показали следующее. Максимальный расход воды на Кубани может превысить среднемноголетний в два с половиной раза раз в 170 лет по степенному распределению и в.

1000 лет по гамма-распределению. Терек может удвоить свой расход по отношению к обычному один раз в, НО лет по степенному распределению и один раз в 406 лет по гамма-распределению. Для Кумы сток воды, превышающий норму в пять раз, может произойти по степенному распределению один раз в 85 лет, а по гамма-распределению — один раз в 28 000 лет. В Подкумке расход воды, который выше нормального в четыре раза, может случиться один раз в 102 года по степенному распределению и один раз в 8800 лет по гамма-распределению.

Другими словами, произошедшие катастрофические наводнения не являются почти невероятными событием, а имеют достаточно большую вероятность повториться даже при жизни нынешнего поколения. Поэтому подобные распределения необходимо учитывать при оценке надежности и безопасности объектов и систем, имеющих жизненно важное значение.