Интегрирование периодических функций

Установим несколько фактов, связанных с интегрированием периодических функций. В нектороых ситуациях они помогают облегчить вычисление интегралов.

Теорема 3.5. Пусть периодическая с периодом Т функция f интегрируема на каждом конечном отрезке. Тогда для любых a, b е R верно равенство

Доказательство. Имеем.

Теорема 3.6. Пусть непрерывная функция / является периодической с периодом Т Ф 0. Тогда для любого действительного, а справедливо равенство

Синтеграл от периодической функции по любому отрезку, длина которого равна периоду, всегда принимает одно и то же значение).

а+Т г.

Доказательство. Обозначим Ф (а) = J /(x)dx-J/(x)dx. Тогда.

п Г) значит, Ф (а) = const. Однако.

а+Т Т.

Отсюда следует, что Ф (а) = 0, т. е. J /(x)dx = J /(x)dx для любого а.

а 0

Теорема 3.7. Пусть непрерывная на всей числовой прямой функция/ является периодической с периодом I Первообразная F функции f является периодической (с тем же периодом) тогда и только тогда, когда

Доказательство. 1. Необходимость. Рассмотрим произвольную первообразную для функции/: F (x) = j f (t)dt +С. Из периодичности F.

о г г с периодом Г следует, что F (Г) = j f (t)dt + С = F (0) = C, откуда f (t)dt = 0.

о о г.

2. Достаточность. Если j f (t)dt- 0, то имеем о.

2л+1.

Вычислить J (x + sinx + sin2x) dx.

Решение. Заметим, что функция /(x) = sinx является периодической с периодом 2л, следовательно, интеграл от нее по любому отрезку длины 2л Пример 3.31.

равен J sinxdx = 0. Аналогично для функции sin2x равняется нулю интеграл о по любомы отрезку длины к. Отсюда получаем: