Цепь с билинейным резистором

Эквивалентные схемы пассивного SC-фильтра нижних частот с билинейным эквивалентом резистора в нечетной и четной фазах изображены на рис. 8.5.6, а, б. При составлении уравнений следует обратить внимание на то, что напряжение источника, моделирующего начальное напряжение uCs на переключаемом конденсаторе Cs, совпадает по фазе с входным напряжением щ. Это связано с переполюсовкой конденсатора Cs в процессе коммутации ключей.

Схема для нечетной фазы Ф₀ (рис. 8.5.6, а) описывается следующей системой уравнений:

Подставив u^e_Cs, и^е_с (8.5.18) в (8.5.17), получим после группировки членов.

Используя 2-преобразование, запишем (8.5.19) в виде.

(C_s +C)?/$(z) + (C₅-C)?/?(2)2-V2 =C_s[U?(z) + Uf (z)z-'/*]. (8.5.20).

Подобным образом можно получить описание схемы для четной фазы Ф_е (см. рис. 8.5.6, б) в 2-области:

Суммируя левые и правые части соотношений (8.5.20), (8.5.21), получим следующее выражение передаточной функции:

где а = C/C_s.

В рассматриваемой схеме все ключи переключаются дважды за период следования импульсов тактового генератора, поэтому в действительности период взятия выборок (дискретизации) Т = Т/2, т. е. в два раза меньше. Поэтому в (8.5.22) следует произвести замену 2^-1/² на 2^-1. Следовательно, окончательное выражение передаточной функции б’С-цепи с билинейным эквивалентом резистора имеет вид.

Применив билинейное преобразование к передаточной функции #($) = 1/(1 + RC_S) аналоговой RC-цепи (см. рис. 8.5.1, а) с помощью подстановки получим.

Сопоставляя (8.5.24) с (8.5.23), находим.

Выражение (8.5.25) еще раз подтверждает эквивалентность резистора переключаемому конденсатору, а также дает количественную оценку сопротивления.