Определение критической силы. 
Формула Эйлера

Рассмотрим стержень на двух шарнирных опорах, нагруженный сжимающей силой (рис. 12.3). При увеличении нагрузки в какой-то момент стержень теряет устойчивость и изгибается в направлении наименьшей жесткости /min.

сжатого стержня устойчивости сжатого стержня В п. 7.1 получено выражение, связывающее изгибающий момент с кривизной балки: 1/р = M/EJmin. Там же приведены выражения для кривизны стержня, взятое из аналитическое геометрии: 1 = и" .

р а+((/)2)3 2 '.

Приравнивая два выражения для кривизны и пренебрегая первой производной от прогиба (углом поворота) по сравнению с единицей, получаем уравнение упругой линии балки (7.13): EJminu" = М. При Е= Екр изгибающий момент в произвольном сечении стержня Mz=—FKpu.

Знак минус в выражении изгибающего момента поставлен для согласования знаков прогиба и его второй производной. На рис. 12.3 прогиб балки и положительный, а вторая производная отрицательная, так как функция имеет максимум. Если прогиб будет отрицательным, то функция будет иметь минимум, т. е. вторая производная положительна.

Уравнение изогнутой оси стержня принимает вид EJ_minu" = М =-F_Kpu. Приведем это уравнение к стандартному виду,.

разделив его на ?7_min:

Введем тогда уравнение примет стандартный вид:

Решение уравнения (12.2) ищем в виде и = С, cos (^v) + C₂sin (/:x). Произвольные постоянные интегрирования находим из граничных условий: при х = 0 и₀ = 0, следовательно, С, = 0; при х = L u_L = 0, тогда либо С₂ = 0, либо sin (/:Z,) = 0.

Но С₂ не может быть равно нулю, так как в этом случае не может быть потери устойчивости. Следовательно, sin(kL) = 0. Тогда kL = пп и к = (nn)/L, где п — любое целое число. Но п не может быть равно нулю по вышеуказанной причине. При п = 1 критическая сила минимальна и реально имеет место. На практике могут быть реализованы и другие значения п > 1 (об этом будет сказано далее).

Приравняем ранее принятое значение к (12.1) к только что найденному откуда.

Минимальному значению критической силы соответствует /1=1. Тогда формула Эйлера для определения критической силы принимает вид Рассмотренную схему нагружения стержня будем называть схемой Эйлера. Изогнутая ось стержня в схеме Эйлера представляет собой полволны синусоиды: и = C₂sin (bc). В этом выражении коэффициент С₂ не может быть определен из граничных условий, поэтому максимальный прогиб стержня неопределенный.

Считается, что при достижении критической силы прогиб стержня возрастает до бесконечности, т. е. стержень ломается. В действительности этого не происходит. Причина заключается в использовании приближенного выражения связи кривизны и прогиба. При использовании точного выражения -1 =-^-— получается большое, но конечное значение прогиба. Р (1 + (и')²)