Электрические цепи с переменными во времени параметрами

Элементы цепей

Электрические цепи с переменными во времени параметрами — это электрические цепи, в состав которых входят резистивные, индуктивные и емкостные элементы, изменяющиеся во времени (если в состав цепи входит хотя бы один изменяющийся во времени элемент, то она принадлежит к рассматриваемому классу цепей).

Угольный микрофон — пример изменяющегося во времени резистивного элемента (рис. 18.1, а). Сопротивление его является функцией звукового давления, оказываемого мембраной на порошок графита. Индуктивная катушка с незамкнутым ферромагнитным сердечником, который выдвигается из катушки и вдвигается в нее (рис. 18.1, б), — пример переменного во времени индуктивного элемента. Конденсатор, пластины которого раздвигаются и сдвигаются, не соприкасаясь (рис. 18.1, в), — пример емкостного элемента, изменяющегося во времени. Две индуктивные катушки L₁ и L₂ (рис. 18.1, г), взаимное расположение которых меняется во времени (например, если одна из них вращается вокруг своей оси, перпендикулярной рисунку), — пример взаимной индуктивности, меняющейся во времени.

Рис. 18.1.

Изменение параметров цепи во времени может происходить под действием внешней механической силы или чисто электрическим путем.

Параметр цепи может изменяться во времени периодически и непериодически. Рисунок 18.2, а — в иллюстрирует несколько различных периодических законов изменения параметров.

Рис. 18.2.

Общие свойства электрических цепей

Несмотря на то что цепи с переменными по времени параметрами являются линейными цепями (описываются линейными дифференциальными уравнениями), они обладают свойствами, сближающими их с нелинейными цепями.

Переменные во времени элементы цепи, подобно нелинейным элементам, являются генераторами высших гармоник тока и напряжения. В силу этого в цепях с переменными параметрами протекают токи не только тех частот, которые имеют источник вынуждающей силы и переменная составляющая изменяющегося во времени параметра, но и токи множества других частот.

Благодаря этому в цепях с переменными параметрами при наличии в их составе индуктивных и емкостных элементов могут возникать резонансные явления на высших и низших гармониках при отсутствии гармоник данной кратности у источника ЭДС.

Обратим внимание на то, что амплитуды отдельных гармоник тока в цепях с переменными параметрами линейно зависят от амплитуд остальных гармоник (в нелинейных цепях аналогичная зависимость нелинейна).

Наряду с этим цепи с переменными во времени параметрами обладают линейными свойствами, принципиально отличающими их от нелинейных цепей. В них амплитуды гармоник тока и напряжения пропорциональны амплитуде вынуждающей силы. Другими словами, если ЭДС источника увеличить вдвое, то и амплитуды токов и напряжений увеличатся вдвое. В цепях с нелинейными элементами, где имеет место насыщение, такой пропорциональности, как известно, нет.

Ранее отмечалось, что изменяющиеся во времени элементы цепи являются генераторами высших гармоник. Убедимся в этом на простейшем примере. На рис. 18.3 изображена схема, состоящая из источника постоянной ЭДС Е и резистора R, сопротивление которого изменяется во времени в соответствии с кривой на рис. 18.2, б:

По закону Ома ток в цепи.

Известно, что функция 1/(1 — х) при х < 1 может быть разложена в степенной ряд:

Роль, которую играет х в (18.3), в (18.2) выполняет /csincot. Поэтому при к < 1.

Воспользуемся известными из тригонометрии формулами:

и объединим слагаемые правой части ряда (18.4) с аргументами одинаковой кратности. В результате получим.

Таким образом, несмотря на то что в цепи (рис. 18.3) включен источник постоянной ЭДС, а переменная составляющая сопротивления резистора изменяется по закону синуса с частотой ш, ток имеет и высшие гармоники (частоты 2ев, Зев). Постоянная составляющая и амплитуды гармоник тока нелинейно зависят от коэффициента к, но линейно зависят от ЭДС Е.

Рис. 18.3.

Обратим внимание также на то, что при к ф 0 постоянная составляющая тока в цепи (см. рис. 18.3) не равна E/R₀, т. е. в схеме наблюдается своеобразный выпрямительный эффект.

Энергия, выделяющаяся в виде теплоты в цепи с переменными во времени параметрами, доставляется не только источниками ЭДС (тока), имеющимися в цепи, но и теми внешними источниками (например, механическими двигателями), которые совершают работу при изменении параметра (параметров) цепи.

Какую долю энергии доставляет источник ЭДС, а какую дает внешний источник, совершающий работу при изменении параметра, для каждой цепи с переменными параметрами следует рассматривать применительно к конкретным условиям. Доля энергии, доставляемая внешним источником, может составлять в одном предельном случае нуль, в другом — 100%.

Отметим различие в определении напряжения от тока или тока от напряжения для элементов одинаковой физической природы для двух случаев:

• 1) когда величина, характеризующая этот элемент (сопротивление, индуктивность, емкость), является функцией времени;
• 2) когда она является нелинейной функцией тока или напряжения на нем.

Для резистивного элемента в первом случае u_R = R (t)i, во втором — ^ur «1/_я(0.

Для индуктивного элемента в первом случае потокосцепление j/ =.

_г, ,. d|/ .dL (t) _, _л di …

= L (t)i, напряжение u_L =—- = i-+ L (t)—; во втором p = j/(i), u_L =.

dt dt dt

_df _di di _ di dt di dt ^ди<^ dt

Для емкостного элемента в первом случае заряд q = C (t)n_c, ток.

dC (t) .du_c. . .do dq (u_r) du_r

i = u_c-+ C (t)——; во втором q = q (u_c), ток i = — = —— —— =.

dt dt dt du_c dt

=с_диф(_ис)^;