Предельные теоремы теории вероятностей

Предельными теоремами называют группы теорем: «Закон больших чисел» (ЗБЧ) и «Центральная предельная теорема» (ЦПТ). Масса случайных явлений обладает свойством устойчивост и средних, что и составляет физическое содержание ЗБЧ. Приближение средних характеристик большого числа опытов к некоторым постоянным устанавливает группа теорем ЗБЧ. Простейшей формой ЗЬЧ является теорема Бернулли: если событие, А в опыте появляется с постоянной вероятностью, то при большом числе опытов частота появления этого события сходится по вероятности к вероятности события.

Формы ЗБЧ представляются частной и обшей теоремами Чебышева. В частной теореме Чебышева утверждается: при большом числе независимых опытов среднее значение наблюдаемых в опытах значений СВ сходится по вероятности к ее математическому ожиданию и записывается формулой.

где ?, и 5 — какие угодно малые положительные числа.

В обобщенной теореме Чебышева рассматриваю гея независимые СВ Л'),…, Xj,…, Х" соответственно математическими ожиданиями т_х,…, т_х,…, т_хп и дисперсиями D_x,…, D_xl,…, D_xn. Теорема утверждает: «Если дисперсии ограничены постоянным числом L, т. е. D_x, < L, то при росте п среднее арифметическое наблюдаемых значений СВ сходится по вероятности к среднему арифметическому математических ожиданий». В символьной форме теорема имеет вид.

Теорема ЗБЧ доказывается с помощью неравенства Чебышева. Неравенство Чебышева утверждает: «Вероятность того, что X отклонится от математического ожидания не меньше чем на а, каким бы оно ни было, ограниче-

но сверху величиной D_x / от «, т. е.

Например, оценим вероятность отклонения значения СВ от математического ожидания более чем на 3cr_t.

Из (7.96) следует, что независимо от закона распределения СВ вероятность ее значения более (менее) т_х±Зст_т не превышает 1/9, отсюда вытекает известное правило «Зсг_х.».

ЦПТ — это группа теорем, устанавливающая предельные законы распределения для сумм СВ:

где У — СВ с математическим ожиданием т_у, и средним квадратическим отклонением <7 .

Если Xj,…, Х" независимые СВ с одинаковыми законами распреде

ления, то при неограниченном возрастании п закон распределения суммы (7.97) неограниченно приближается к нормальному.

В другой теореме утверждается: если число слагаемых СВ больше 10 и каждая из них оказывает равномерное влияние на рассеяние суммы, то закон ее распределения можно заменить нормальным. Обычно рассматривают нормированную СВ вида.

Для СВ Z, пи =0, <�т, = 1, вероятность попадания в интервал от, а до (3.

здесь СВ Z имеет нормальное стандартное распределение.

Основные положения предельных теорем могут использоваться при моделировании режимов тяговых нагрузок, напряжений на токоприемниках, интервальных характеристик движения поездов.