Циклические группы. 
Дискретный анализ. 
Основы высшей алгебры

Эти группы наиболее просто устроены. В циклической группе есть такой элемент (он называется порождающим элементом группы), что каждый элемент группы может быть получен (многократным) применением групповой операции к порождающему.

Чтобы разобраться с циклическими группами, введем несколько простых обозначений, которые понадобятся и в дальнейшем. Единицу мы будем обозначать как нулевую степень произвольного элемента: е = а⁰. (Это просто полезное условное обозначение. Его можно считать определением а⁰.) Далее, результат п-к ратного применения операции к элементу а будем обозначать а^п:

В аддитивной записи та же самая степень обозначается па.

Проверим, что

прямым вычислением (в нём мы используем, что а и а ¹ коммутируют):

Равенство (1.3) позволяет однозначно понимать выражение а~^п (—па в аддитивной записи) и дает определение отрицательной степени.

Все остальные свойства степени, к которым мы привыкли в обычной арифметике, здесь тоже сохраняются. Например:

Так же легко получить еще одно привычное равенство.

Теперь посмотрим па то, как устроены циклические группы. Есть два случая.

1. Все степени порождающего элемента различны. Группа состоит из элементов.

а операция однозначно определена равенствами (1.3) — (1.4). По существу, эго группа целых чисел, но сложению. Эго становится очевидным, если переписать предыдущую строчку в аддитивной записи.

2. Две различные степени порождающего элемента совпадают:

Но тогда.

Обозначим через q наименьшее натуральное т, для которого а^т = е (это число называется порядком элемента а).

Докажем, что элементы циклической группы в этом случае — это е = а⁰, а¹, a^q~^l, причем все перечисленные элементы различны. Действительно, если а¹ = а¹, 1 ^ I < t < ^ q — 1, то а^г~¹ = еи приходим к противоречию с выбором q (так как t — I < q). Рассмотрим какой-нибудь элемент группы, он имеет вид а^п. Разделим п на q с остатком: п = sq + …, О ^ т < q. Тогда.

Циклическая группа из п элементов обозначается С_п.

Пример 1.14 (корпи из единицы). Комплексное число 2 называется корнем из единицы порядка п, если zⁿ = 1. Можно проверить, что относительно умножения корни из единицы образуют группу, и эта группа циклическая.

Пример 1.15. Степени любого элемента а в любой группе образуют циклическую группу. Свойство ассоциативности в данном случае выполняется тривиально, единица — та же самая, что и в исходной группе. Согласно проделанным выше вычислениям, произведение степеней является степенью, обратный элемент также является степенью. Элемент а является порождающим. Обратите внимание, что каждый элемент исходной группы может породить свою группу. Группу, порожденную элементом а, мы будем обозначать (а).