Численное дифференцирование. 
Численное дифференцирование

В основе численного дифференцирования лежит аппроксимация функции, от которой берется производная, интерполяционным многочленом. Все основные формулы численного дифференцирования могут быть получены при помощи первого интерполяционного многочлена Ньютона (формулы Ньютона для начала таблицы).

Основными задачами являются вычисление производной на краях таблицы и в ее середине. Для равномерной сетки формулы численного дифференцирования «в начале таблицы» можно представить в общем виде следующим образом:

Где — погрешность формулы. Здесь коэффициенты и зависят от степени n использовавшегося интерполяционного многочлена, то есть от необходимой точности (скорости сходимости к точному значению при уменьшении шага сетки) формулы. Коэффициенты представлены в таблице Таблица 1.

1. Формулы численного дифференцирования

Один из универсальных способов построения формул численного дифференцирования состоит в том, что по значениям функции в некоторых узлах строят интерполяционный полином (в форме Лагранжа или в форме Ньютона) и приближенно полагают.

В ряде случаев, наряду у с приближенным равенством удается (например, используя формулу Тейлора) получить точное равенство, содержащее остаточный член (погрешность численного дифференцирования).

Такие формулы называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами.

Степень, с которой входит величина в остаточный член, называется порядком погрешности формулы численного дифференцирования. Формулы с отброшенными остаточными членами называются просто формулами численного дифференцирования.

Ниже приводятся несколько распространенных формул численного дифференцирования с остаточными членами для первой и второй производных в узлах, расположенных с постоянным шагом :

(два узла):

• (три узла):
• (три узла):
• (четыре узла):

Где — шаг сетки, а точка — некоторая промежуточная точка.

В формулах численного дифференцирования с постоянным шагом значения функции делятся на, где — порядок вычисляемой производной. Поэтому при маломнеустранимые погрешности в значениях функции оказывают сильное влияние на результат численного дифференцирования. Таким образом, возникает задача выбора оптимального шага, так как погрешность собственно метода стремится к нулю при, а неустранимая погрешность растет. В результате общая погрешность, которая возникает при численном дифферецировании, может неограниченно возрастать при. Поэтому операцию численного дифференцирования считают некорректной.

Пусть имеется функция которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту производную в некоторой точке.

Если задан явный вид функции, то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных в обще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования.

Простейшая идея численного дифференцирования состоит в том, что функция заменяется интерполяционным многочленом (Лагранжа, Ньютона) и производная функции приближенного заменяется соответствующей производной интерполяционного многочлена.

Рассмотрим простейшие формулы численного дифференцирования, которые получаются указанным способом.

Будем предполагать, что функция задана в равностоящих узлах.

Ее значения и значения производных в узлах будем обозначать.

Пусть функция задана в двух точках и ее значения.

Построим интерполяционный многочлен первой степени Производная равна.

Производную функцию в точке приближенно заменяем производной интерполяционного многочлена.

(1).

Величина называется первой разностной производной.

Пусть задана в трех точках.

Интерполяционный многочлен Ньютона второй степени имеет вид.

В точке она равна.

Получаем приближенную формулу.

(2).

Величина называется центральной разностной производной.

Наконец, если взять вторую производную.

(3).

Величина называется второй разностной производной.

Формулы (1)-(3) называются формулами численного дифференцирования.

Предполагая функцию достаточное число раз непрерывно дифференцируемой, получим погрешности приближенных формул (1)-(3).

В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.

Лемма 1. Пусть произвольные точки, Тогда существует такая точка что.

Доказательство. Очевидно неравенство.

По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на замкнутом отрезке она принимает все значения между и Значит существует такая точка что выполняет указанное в лемме равенство.

Погрешности формул численного дифференцирования дает следующая лемма.

Лемма 2.

1. Предположим, что Тогда существует такая точка, что.

(4).

Если то существует такая точка, что.

(5).

Когда-то существует такая, что.

(6).

Доказательство. По формуле Тейлора.

откуда следует (4).

Если то по формуле Тейлора.

(7).

где.

Подставим (7) в Получаем.

Откуда и следует (6).

Равенство (5) доказывается аналогично (доказательство провести самостоятельно).

Формулы (4)-(6) называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами.

Погрешности формул (1)-(3) оцениваются с помощью следующих неравенств, которые вытекают из соотношений (4)-(6):

Говорят, что погрешность формулы (1) имеет первый порядок относительно (или порядка), а погрешность формул (2) и (3) имеет второй порядок относительно (или порядка). Также говорят, что формула численного дифференцирования (1) первого порядка точности (относительно), а формулы (2) и (3) имеют второй порядок точности.

Указанным способом можно получать формулы численного дифференцирования для более старших производных и для большего количества узлов интерполирования.

Выбор оптимального шага. Допустим, что граница абсолютной погрешности при вычислении функции в каждой точке удовлетворяет неравенству.

(8).

Пусть в некоторой окрестности точки производные, через которые выражаются остаточные члены в формулах (5), (6), непрерывны и удовлетворяют неравенствам:

(9).

где — некоторые числа. Тогда полная погрешность формул (2), (3) (без учета погрешностей округления) в соответствии с (5), (6), (8), (9)не превосходит соответственно величин.

Минимизация по этих величин приводит к следующим значениям :

(12).

(13).

численный дифференцирование аппроксимация интерполяционный.

Если при выбранном для какой-либо из формул (2), (3) значении отрезок не выходит за пределы окрестности точки, в которой выполняется соответствующее неравенство (9), то найденное есть оптимальным и полная погрешность численного дифференцирования оценивается соответствующей величиной (13).