Статистическая обработка результатов радиометрических измерений

Ни одну физическую величину нельзя измерить абсолютно точно, поэтому результат эксперимента всегда содержит ошибку, как бы тщательно не проводились измерения. В связи с этим важнейшая проблема интерпретации результатов эксперимента связана с достоверностью оценки точности полученных результатов. Любой результат опыта представляет собой случайное событие, так что с какой-то определенной вероятностью могут иметь место и другие результаты, отличающиеся от полученного. Рассеяние измеряемых величин обусловлено неконтролируемым изменением большого числа не поддающихся учету факторов, оказывающих влияние на процесс измерения. Погрешности такого типа называют случайными. Распределение случайных погрешностей подчиняется определенным вероятностным законам. Существенно, что случайная ошибка результата будет тем меньше, чем больше число выполненных измерений.

Сказанное относится к процедуре измерения физических величин в любой области, в том числе при работе как со стабильными, так и радиоактивными нуклидами. Однако при работе с радиоактивными веществами всегда существует дополнительный источник ошибок, никак не связанный с какими-либо измерениями. В случае радиометрических определений наряду с обычными погрешностями в результат вносится дополнительная неопределенность, обусловленная вероятностным характером самого изучаемого процесса (радиоактивного распада). С этой неопределенностью связан минимальный уровень рассеяния экспериментальных результатов, которого можно достигнуть при регистрации радиоактивности данного образца в течение заданного времени.

Вероятностью Р некоторого события называют отношение числа опытов v, в которых появляется рассматриваемое событие, к общему числу опытов /?, если количество опытов стремится к бесконечности:

При небольшом числе опытов величина отношения v/n носит случайный характер, приближаясь к вероятности при увеличении числа опытов.

Распределение числовой случайной величины — функция, определяющая вероятность того, что случайная величина принимает заданное значение или принадлежит к некоторому заданному интервалу.

Случайная величина — действительное переменное, которое в зависимости от исхода опыта принимает различные значения.

Случайная величина характеризуется функцией распределения и может рассматриваться как заданная, если задана ее функция распределения.

Если случайная величина принимает конечное число значений, то распределение задается функцией Р (Х = х), ставящей каждому возможному значению х случайной величины X вероятность того, что X = х. Такое распределение называется распределением дискретной случайной величины. Если случайная величина принимает бесконечное множество значений, то функция распределения F_x(x) непрерывна, а случайная величина X называется непрерывной случайной величиной.

Случайная величина X называется дискретной, если она может принимать только конечное или счетное множество значений. Она характеризуется значениями x_v х₂, …, которые может принимать, и вероятностями р. = Р (Х = х_х), с которыми она принимает эти значения. Вероятности р- удовлетворяют условию:

Отображение множества х_х с вероятностями р- рассматривается как функция вероятности дискретной случайной величины. Для функции распределения дискретной случайной величины имеем:

Суммирование проводится по всем г, для которых х, < х. F (x) — ступенчатая функция со скачками высотой p_t в точках х_г

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. К дискретным распределениям относятся такие известные распределения, как биномиальное, геометрическое, полиномиальное, Пуассона, и др. С точки зрения радиометрии важнейшим является распределение Пуассона, поскольку флуктуации радиоактивного распада, вызывающие дополнительные погрешности при измерении активности препарата, описываются именно распределением Пуассона.

Случайная величина называется непрерывной, если ее функцию распределения (интегральную функцию распределения) можно представить в виде:

Функция ф (х) называется плотностью распределения.

Непрерывные функции распределения имеют производные. Первая производная /(х) функции распределения F (x) называется плотностью вероятности.

Так как lim F (x) = 1 и lim F (x) = 0, то должно выпол;

л—оо пяться условие:

При заданной плотности вероятности вероятность того, что непрерывная случайная величина попадает в заданный интервал, равна:

Непрерывные функции распределения не имеют скачков. Они монотонно возрастают при увеличении аргумента от О при х -* -со до 1 при х —* +°°. К непрерывным распределениям относится нормальное (Гауссово), логарифмически нормальное, экспоненциальное, распределения Стыодента, Пирсона, Фишера и др.

Полная информация о случайной величине дается ее распределением вероятностей (функцией распределения F,

функцией плотности ср). Однако для решения многих задач достаточно знать лишь некоторые числовые характеристики, называемые характеристиками распределения, которые дают относительно полное представление о свойствах случайной величины. Важнейшими из них являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, начальные, центральные и основные моменты, медиана, мода, квантили и квартили. Некоторые характеристики статистического распределения представлены на рис. 1.20.

Медианой случайной величины X называется такое число Q._;, при котором:

Вероятность р, того, что случайная величина х будет меньше х_½, и вероятность р₂ того, что случайная величина х будет больше х_½, одинаковы и равны ½.

Медиана — значение варьирующего признака, которое делит ряд распределения на две равные части по объему частот или частей.

Сумма абсолютных величин линейных отклонений от медианы минимальна.

Если распределение случайной величины симметрично, как, например, в случае нормального распределения, то медиана совпадает с математическим ожиданием. Математическое ожидание и медиана для несимметричных распределений не совпадают.

Мода непрерывной случайной величины — значение X, в котором f (X) достигает своего локального максимума.

Рис. 1.20. Основные параметры асимметричного распределения.

Важными числовыми характеристиками случайных величин являются моменты.

Пусть X — дискретная случайная величина с возможными значениями x_v х₂>… и р. = Р (Х = х). Число.

в случае абсолютной сходимости ряда называется k-м (k = = 1,2, …) начальным моментом случайной величины X (или ее распределения).

Особое значение имеет первый начальный момент р. = Хх, р.,.

i

который называется математическим ожиданием X.

Математическое ожидание случайной величины X — это среднее значение X с учетом вероятности осуществления каждого значениях. Обозначается р, (часто просто р). Величину р используют как характеристику положения распределения X.

Число.

называется центральным k-м моментом X.

Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины X

Дисперсия (второй центральный момент) — величина, характеризующая степень разброса количественных значений величин статистической выборки (случайных величин) относительно среднего значения для этой выборки.

Дисперсия определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Корень квадратный из дисперсии называется разбросом или стандартным отклонением или средним квадратичным отклонением случайной величины и обозначается.

Среднеквадратичное отклонение используют как меру разброса X относительно pj (среднего значения, т. е. р).

Дисперсия характеризует средний квадрат отклонения случайной величины от своего математического ожидания, т. е. величина а — мера рассеяния распределения относительно математического ожидания.

Пусть X — непрерывная случайная величина с плотностью вероятности ц>(х). Тогда.

называется в случае абсолютной сходимости интеграла, k-u начальным моментом случайной величины X (k = 1,2, …).

называется k-м центральным моментом случайной величины.

Первые четыре центральных момента имеют вид: М, = 0; М₂ = а² — дисперсия; М₃ — асимметрия; М₄ — эксцесс.

Связь между начальными и центральными моментами устанавливается формулами:

Статистические моменты допускают простую геометрическую интерпретацию: р, — математическое ожидание, т. е. абсцисса, при которой достигается среднее арифметическое значение из ординат на графике ф (х) (см. рис. 1.20); М₂ = а² — дисперсия — определяет ширину распределения, т. е. расстояние между двумя точками перегиба па графике ф (х); М₃ — асимметрия — разность - Д₂, рассчитанная относительно моды распределения — точки, где ф (х) достигает максимума, а на графике F (x) наблюдается перегиб; М₄— эксцесс — радиус кривизны в моде, т. е. островершинность.

Моменты могут быть вычислены и для интегральной плотности распределения:

Основные моменты — центральные моменты, нормированные на дисперсию.

где М_к — k-й центральный момент; а — дисперсия.

Во многих компьютерных статистических пакетах программ, например в пакете STATISTICA, формулы для основных моментов несколько модифицируются.

Коэффициентом асимметрии называется величина.

Параметр р, может быть как положительным, так и отрицательным числом (правосторонняя и левосторонняя асимметрия).

Коэффициентом эксцесса называется величина.

Такое определение основных параметров использовано, потому что у нормального (Гауссова) распределения р, = О и р₂ = 0, что позволяет достаточно просто установить, подчиняется ли экспериментальная случайная величина нормальному распределению.

Коэффициент асимметрии задает степень асимметричности плотности вероятности относительно оси, проходящей через ее центр тяжести.

Коэффициент асимметрии (skewness, р,) — безразмерная величина — определяется третьим центральным моментом распределения.

Все симметричные распределения имеют нулевой коэффициент асимметрии. Если асимметрия отличается от 0, распределение асимметричное. Плотность нормального распределения симметрична относительно среднего. Асимметрия распределения с длинным правым хвостом положительна. Если распределение имеет длинный левый фронт, то его асимметрия отрицательна. Мера р, может быть использована для сравнения асимметрии двух распределений, имеющих различный масштаб. Отрицательный коэффициент асимметрии соответствует распределению, смещенному влево относительно среднего значения. Положительный коэффициент асимметрии соответствует распределению, смещенному вправо относительно среднего значения.

Коэффициент эксцесса (kuttosis, Р₂) задает степень сглаженности плотности вероятности в окрестности главного максимума (островершинность распределения).

Он показывает, насколько острую вершину имеет плотность вероятности, но сравнению с нормальным распределением. Для нормального закона Р₂ = 0. Если Р₂ > 0, то распределение имеет острый пик, если Р₂ < 0 (минимальное значение р., = -2), то распределение имеет плосковершинную форму по сравнению с нормальным распределением.

До сих пор мы рассматривали способы расчета моментов по статистическим распределениям, заданным функционально. Коротко остановимся на вычислениях моментов по выборочным данным (т.е. по набору результатов измерений).

Выборочное среднее (аналог 1-го начального момента, р,) определяют как среднее арифметическое из п результатов измерений:

Выборочную дисперсию (аналог 2-го центрального момента М₂) обозначают s², .v²{.r} или s²; ее вычисляют по формуле:

где s_v — средняя квадратичная ошибка отдельного измерения.

Знаменатель в выражении (1.124) характеризует число степеней свободы для выборочной дисперсии. Число степеней свободы / равно числу независимых измерений минус число дополнительных связей, налагаемых па экспериментальный материал в процессе его обработки. Так, на п независимых результатов измерений при расчете среднего арифметического накладывается одна связь вида (1.123). Поэтому число степеней свободы при определении выборочной дисперсии равноf=n — 1.

Распределение Пуассона — распределение вероятностей случайных величин, принимающих целочисленные значения.

Подчиненная распределению Пуассона случайная величина X принимает лишь неотрицательные значения, причем.

yk

X = к с вероятностью р_к(X) = — е~ & = О, 1,2,… (А. — положи;

til

тельный параметр).

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время при условии, что данные события происходят с некоторой интенсивностью и независимо друг от друга. Это распределение вероятности редких событий. При введении распределения Пуассона предполагается, что:

• 1) событие, происшедшее в момент времени t, не зависит от событий, предшествующих моменту ?;
• 2) вероятность отдельного события за малый интервал времени Ы возрастает пропорционально длительности этого интервала;
• 3) вероятность двух или более чисел событий за тот же промежуток времени (t, t + 81) равна нулю.

Распределение Пуассона — дискретное распределение — предельный случай биномиального распределения, когда вероятность р осуществления события мала, но число испытаний п велико, причем пр = к остается конечным и постоянным. Дифференциальная форма распределения Пуассона:

где X > 0; X — 0, 1,2…

В выражение (1.25) входит только один параметр (л = ц — математическое ожидание, т. е. 1 -й начальный момент), от которого и зависит вид кривой распределения Пуассона; ц — среднее значение случайной величины, распределенной по закону Пуассона. Дисперсия распределения Пуассона также равна ц:

т.е. ст (х) = -у/й — разброс х относительно среднего значения пропорционален квадратному корню из среднего значения. Интегральная форма распределения Пуассона:

где Г (т = 1, А.) — у-функция.

Распределение Пуассона дискретно: величины X могут принимать лишь положительные целочисленные значения. График функции величины X представляет собой лестницу с бесконечным числом ступенек со скачками во всех неотрицательных целочисленных точках. Величина скачка в точке х = т равна р_т; при х < 0 F (x) = 0. Было бы правильнее изображать вероятности появления каждого значения X вертикальными отрезками. Однако для наглядности на рис. 1.21 через точки, соответствующие вероятностям Р (т), проведены плавные кривые. Из рисунка видно, что при малых значениях т распределение Пуассона асимметрично (максимум смещен влево), но по мере роста т кривые становятся более симметричными. При X —" °° распределение Пуассона переходит в распределение Гаусса.

Коэффициент асимметрии р, = X ^½ = р‘^½, коэффициент эксцесса Р₂ = X ¹ = р Асимметрия всегда положительна и стремится к нулю, но мере возрастания р. При росте р распределение становится более симметричным. Важно, что практически уже при р = 10 распределение Пуассона достаточно хорошо аппроксимируется нормальным распределением, оба параметра которого равны р (табл. 1.3).

Рис. 1.21. Распределение Пуассона:

а — функция вероятности; б — функция распределения.

Кривые: 1 — X = 1; 2 — X- 4; 3 — X = 10.

Таблица 13

Статистические моменты распределения Пуассона.

Распределение Пуассона называют «распределением вероятностей редких событий», поскольку оно хорошо описывает ситуацию случайно и независимо друг от друга появляющихся событий в течение заданного периода времени.

Законы радиоактивного распада и накопления — эго статистические законы, проявляющиеся лишь для достаточно большого числа радиоактивных ядер. Распределение результатов измерения радиоактивности (например, числа импульсов JV, регистрируемых детектором за время ?) следует закону Пуассона. На рис. 1.21, а и б представлены примеры распределения Пуассона в дифференциальной и интегральной формах соответственно.

Вероятность Р (N) того, что за выбранный промежуток времени будет зарегистрировано N импульсов, если среднее число регистрируемых импульсов составляет N, равна:

Дисперсия распределения Пуассона числа регистрируемых прибором импульсов равна:

Если в единичном опыте зарегистрировано большое число импульсов N_p то для определения квадратичной флуктуации о _C{N} вместо N можно использовать N-

Таким образом, квадратичное отклонение, обусловленное статистическим характером радиоактивного распада (квадратичную флуктуацию), можно оценить на основании только одного измерения.

В качестве более общей ситуации представим, что выполнено п измерений активности препарата продолжительностью, но t мин каждое и получены значения Лф iV₉,…, N_n импульсов. Для каждого г-го измерения можно найти скорость счета:

В этом случае квадратичная флуктуация скорости счета будет равна:

Нередко для характеристики рассеяния данных указывают величину относительного квадратичного отклонения, которое определяется как отношение абсолютного квадратичного отклонения, а к среднему значению измеряемой величины. Для относительного квадратичного отклонения скорости счета, связанного со статистическим характером распада (относительной квадратичной флуктуации), получаем:

Относительная квадратичная флуктуация уменьшается с увеличением регистрируемой скорости счета J и продолжительности отдельного измерения t (т.е. с возрастанием общего числа отсчетов за время отдельного измерения, N=Jt).

Распределение вероятностей случайной величины X называется нормальным (гауссовским), если оно имеет плотность вероятности:

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием О и стандартным отклонением 1. Стандартное нормальное распределение является частным случаем у-распределения.

Одним из наиболее важных распределений, встречающихся в статистике, является нормальное или гауссово распределение. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех.

Нормальное распределение зависит от двух параметров: смещения и масштаба. Параметрами являются среднее (математическое ожидание р) и разброс (стандартное отклонение о). Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием О и стандартным отклонением 1.

Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины с параметром смещения р (среднее значение, математическое ожидание) и масштаба, а (мера рассеяния случайной величины, дисперсия а²) имеет следующий вид:

Величину а² называют дисперсией, а положительное значение квадратного корня из дисперсии, а — средним квадрата ч ным отклонением.

В гауссовом распределении математическое ожидание = = медиана = мода = р, = р, дисперсия М., = а², коэффициент асимметрии = коэффициент эксцесса = 0. Для центральных моментов третьего и четвертого порядка нормального распределения справедливы равенства М₃ = 0, М₄ = За⁴. Эти равенства лежат в основе классических методов проверки подчиненности результатов наблюдений нормальному распределению (табл. 1.4).

Таблица 1.4

Статистические моменты нормального распределения.

Коэффициенты асимметрии и эксцесса р, = (3₂ = 0.

Распределение накопленной вероятности представляет собой S-образную кривую. Функция распределения (интегральное нормальное распределение) не выражается через элементарные функции и записывается через интеграл Римана:

Функция ошибок — неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей и статистике

Если набор случайных чисел подчиняется нормальному распределению (рис. 1.22) со стандартным отклонением о, то вероятность того, что число отклонится от среднего не более чем на а, равна erf —%=.

csl2

Рис. 1.22. Нормальное распределение:

а — плотность вероятности; б — функция распределения. Кривые:

/ - р = 0; а² = 0,2; 2 — р = 0; а² = 1,0; 3 — р = 0; а² = 5,0; 4 — р = -2, а² = 0,5.

Плотность вероятности нормального распределения имеет вид симметричной колоколообразной кривой, которая распространяется до бесконечности как в положительном, так и отрицательном направлении. График функции ср (х) симметричен относительно прямой х = р, имеет в точке р единственный максимум, равный 1/а (2л)^½ и имеет точки перегиба с абсциссами р — а, р + а. При х —? +°о график функции асимптотически приближается к оси Ох. С уменьшением, а кривая нормального распределения становится более островершинной, т. е. чем меньше а, тем меньше вероятность появления больших по абсолютному значению случайных погрешностей (выше точность измерений). Изменение р при постоянном значении, а не меняет форму кривой, а вызывает лишь ее смещение по оси абсцисс. При р = 0 осью симметрии является ось Оу.

Площадь, заключенная под кривой, всегда равна единице, так как при любых р и, а выполняется соотношение:

Вероятность того, что результат отдельного измерения х окажется больше некоторого значения a_v но меньше a_v т. е. попадет в интервал (а_[у а₂), выражается как:

Эта вероятность численно равна площади, которая ограничена кривой распределения и прямыми, проходящими черев точки а_л и а₀ параллельно оси ординат. Во многих практических задачах пренебрегают возможностью отклонений от р, превышающих За, — правило трех сигм (соответствующая вероятность меньше 0,003). Для нормального распределения вероятное отклонение равно 0,67 449а. Функция распределения стандартной нормальной случайной величины (т.е. при pj = 0, а = 1) равна:

Для этой функции составлены таблицы ее значений для различных значений аргумента.

Функция Ф (х) (интеграл вероятностей) обладает следующими свойствами.

Ф (0) = 0.

[е ²dt = - при х > 4 величина Ф (х) ~ 0,5.

л/2тг о ²

Ф (-х) = -Ф (х), т. е. интеграл вероятностей является нечетной функцией.

Функцию распределения нормальной случайной величины с любыми параметрами легко выразить через Ф (х):

Вероятность попадания стандартной нормальной случайной величины в интервал (0, х) равна:

где Ф (х) — задается (1.140).

Вероятность того, что нормальная случайная величина с параметрами р и, а попадет в интервал (х_{, х₂), равна:

Для нормально распределенной величины X нормированное уклонение тоже является нормально распределенной случайной величиной. При этом Р (АХ < а) = 0,6826, Р (АХ < 2а) = 0,9544, Р (АХ < За) = 0,9973, т. е. отклонения большие, чем утроенный стандарт, крайне маловероятны. Этот вывод называют правилом трех сигм.

Распределение Стьюдента с / = п степенями свободы — распределение отношения Т = XJY независимых случайных величин X и Y_} причем Х₀, Х_{, Х₂, Х_п — независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону (pj = О, а= 1).

n.

Случайная величина %², = не зависит от Х₀ и имеет.

i-i.

«хи-квадрат» распределение с / степенями свободы.

^-распределение Стьюдента — непрерывное одномерное распределение с одним параметром — количеством степеней свободы /.

Обычно распределение Стьюдента появляется в задачах, связанных с оценкой математического ожидания нормально распределенных случайных величин.

Плотность распределения (функция вероятности):

где Г — у-функция Эйлера.

Распределение Стьюдента симметрично относительно среднего, равного нулю, его форма похожа на форму нормального распределения, но хвосты^{-распределения} медленнее стремятся к нулю, чем хвосты нормального распределения.

Математическое ожидание = мода = медиана = 0; диспер- п

сия = _п '_ '2' ^{если п >} 3; коэффициент асимметрии р, = 0; ко;

^П~ 6 эффициент эксцесса Р₂ = —где п > 4.

Распределение Стьюдента применяют при оценивании математического ожидания, прогнозного значения и других характеристик с помощью доверительных интервалов, при проверке гипотез о значениях математических ожиданий (гипотеза о неизвестном среднем статистической выборки из нормального распределения) и др.

Характеризуя результаты эксперимента, необходимо указывать доверительный интервал для исследуемого параметра при заданной доверительной вероятности. Это значит, что нужно приводить три величины: либо нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала и значение доверительной вероятности, либо (если доверительный интервал симметричен) среднее значение измерявшейся величины, половину ширины доверительного интервала и доверительную вероятность.

Доверительный интервал — термин, используемый при интервальной (в отличие от точечной) оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объеме выборки; покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью. Он строится по данным выборочного исследования для оценивания параметра генеральной совокупности.

При рассмотрении нормального распределения мы показали, что среднее значение лежит в интервале 0,674а с вероятностью 50%, в интервале, а — с вероятностью 68,3%, в интервале 1,96а (~ 2а) — с вероятностью 95% (р = 0,95, у = 1 — р = = 0,05), а в интервале За — с вероятностью 99,75%. Чем больше берется интервал, тем больше вероятность нахождения в нем среднего и тем меньше вероятность вылететь из этого интервала.

Довольно часто экспериментальные данные представляют в виде величины т плюс или минус одно среднеквадратичное отклонение, т. е.

Запись (1.145) удобна, поскольку она содержит обе величины: р и а, но ей соответствует довольно низкая доверительная вероятность р = 0,683 (т.е. утверждение, содержащееся в (1.145), может оказаться несправедливым в одной трети всех случаев его применения, так как у = 0,33).

Если генеральная дисперсия неизвестна, то интервал совместимых с опытом значений генерального среднего при доверительной вероятности у = 1 — р находят с помощью распределения Стыодента:

где среднеквадратичная ошибка среднего арифметического s связана со среднеквадратичной ошибкой отдельного измерения уравнением.

7 = (1−147).

]п

где.

Тогда доверительные пределы для среднего:

и неизвестная величина равна:

где х — среднее арифметическое из результатов и наблюдений; s — среднеквадратичная ошибка отдельного измерения; s — среднеквадратичная ошибка среднего арифметического; t (p, /) — критическое значение случайной величины, имеющей распределение Стыодента при уровне значимости р = = 1 — у и числе степеней свободы /= п — 1. В естественных науках обычно выбирают вероятность попасть в данный интервал 95% (у = 0,05). Величину t (n — 1; 0,05) находят из таблицы критерия Стьюдента.

Доверительные пределы для среднеквадратичного отклонения:

где р, = 1 — р/2, р₂ = р/2, а у², и у²₂ ~ значения у², для которых с вероятностьюр, и р₂ соответственно у² > у², и у² > у²₂, при числе степеней свободы/= п — 1.

При малом числе измерений п доверительные границы для генеральной дисперсии и генерального квадратичного отклонения резко асимметричны, с ростом п они становятся все более симметричными. Так, при у = 0,05 и различных п доверительные интервалы для о определяются неравенствами: п = 2: 0,45s < a <32s;

«= 15: 0,74s < а <1,58s; п = 30: 0,80s < ст <1,34s.

Рассмотрим теперь доверительный интервал в случае распределения Пуассона.

Если общее число N отсчетов прибора за время измерения t следует распределению Пуассона, то при Л' > 10 средние арифметические скоростей счета будут распределены, но нормальному закону с дисперсией:

В случае радиометрических определений, когда рассеяние результатов обусловлено только статистическим характером распада, результат измерений с указанием его точности и надежности можно записать в виде:

где J (имп/мин) — скорость счета препарата.

Критерий Стьюдента при росте числа событий при 95%-ном уровне значимости быстро стремится к предельному значению 1,96 ~ 2. Поэтому для скоростей счета более 500 имп/мин результаты можно представлять в виде: