Матрицы и операции с ними

Матрица есть прямоугольная таблица чисел.

или.

где i = 1, 2 … n — строки, j = 1, 2 … m— столбцы матрицы.

Каждое число a _ij — элемент матрицы. Произведение nm определяет размер или порядок матрицы. При n = m — матрица квадратная; при n m — матрица прямоугольная.

Если у квадратной матрицы все элементы а _ij = 0 при i j, то матрица называется диагональной, т. е.

или.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной 1 = diag (1, 1, … 1).

Матрица, состоящая из одной строки, называется строчной, а из одного столбца — столбцовой, например

— строчная матрица; - столбовая матрица Транспонированная матрица получается путём перестановки строк со столбцами. Пусть дана матрица А = а _ij, тогда транспонированная матрица.

Например,.

и.

Сложение матриц возможно только для матриц одинакового размера. Пусть даны матрицы.

А = а _ij и B = b _ij, тогда где.

Аналогично производится вычитание матриц.

Отметим два свойства сложения:

свойство коммутативности А + В = В + А;

свойство ассоциативности А + (В + С) = (А + В) + С.

Умножение матрицы на число производится так. Дана матрица А = а _ij и k — число (скалярное). Тогда kA = [ka _ij], т. е. на число k умножается каждый элемент матрицы, причем.

kA = Ak.

Умножение матриц производят только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Пусть даны матрица А = а _ij размером nm и матрица B = b _ij размером mq. Тогда умножением слева матрицы A на матрицу В получают матрицу.

где.

Следовательно, чтобы получить элементы с _ij матрицы С, надо элементы i — й строки матрицы A умножить на элементы k — го столбца матрицы В и сложить.

Например, где.

Отметим, что в общем случае АВ ВА, т. е. произведение матриц не коммутативно. Кроме того, важны еще два свойства матриц.

• 1. А(ВС) = (АВ)С — свойство ассоциативности,
• 2. (А + В)С = АС + АВ — свойство дистрибутивности.

Обращение матрицы. Пусть дана квадратная матрица А, тогда обратная ей матрица обозначается А^-1;

При этом АА^-1 = А^-1А = 1.

Если А = а _ij, то.

где = det A — определитель матрицы A; _ij — алгебраическое дополнение элемента q _i.

Например, пусть.

Определитель A = det A = (a₁₁а₂₂ — а₁₂а₂₁), алгебраические дополнения:

₁₁ = а₂₂; ₁₂ = - а₂₁; ₂₁ = - а₁₂; ₂₂ = а₁₁;

Тогда обратная матрица.

Умножение на обратную матрицу заменяет операцию деления, которая в обычном представления в матричной алгебре отсутствует.

Рассмотрим несколько случаев в записи матриц. Для схемы рис. 3.1 запишем систему уравнений по законам Кирхгофа.

(3.1).

Система линейных алгебраических уравнений может быть записана более компактно в матричной форме.

(3.2).

или (3.3).

где-матрица-столбец токов; - матрица-столбец активных параметров;

[а] - квадратная матрица коэффициентов.

Матричное уравнение (3.3) может быть решено матричными методами относительно неизвестных токов с помощью обратной матрицы. Действительно, если уравнение (3.3) умножить слева на обратную матрицу [а]^-1, то получим.

(3.4).

Так как [а]^-1[а] = 1, то уравнение (3.4) примет вид.

(3.5).

Решение системы уравнений (3.2) может быть осуществлено с помощью численных методов на ЭВМ. В этом случае матричное уравнение (3.3) удобнее записывать в другой форме через более простые матрицы. Рассмотрим этот вопрос подробнее.