Системы дифференциальных уравнений

Лекция 17 Общая теория

Основные понятия, определения

В различных задачах физики, механики, химии и др. возникает необходимость изучать процессы, описываемые не одной, а несколькими функциями. Например, движение материальной точки в трехмерном пространстве описывается тремя функциями х (t), x^it), x^t) координатами точки в момент времени t. В случае, если мы хотим описать движение твердого тела, к трем координатам центра тяжести тела добавляются еще углы поворота этого тела относительно координатных осей, и таким образом получается уже шесть функций от времени. Движение системы п масс описывается, даже если это движение просто прямолинейное (как у вагонов поезда), набором функций xi (t), X2(t),. ?., x_n(t), каждая из которых описывает движение «своей¹¹ массы. Эти функции, как правило, не являются произвольными (об этом речь ниже), но если жестких связей, явно выражающих одни функции через другие, нет, то одной функцией мы движение полностью никак не опишем. Если же эти массы двигаются в пространстве, то число функций, описывающих движение тем более велико.

Конечно, в реальных ситуациях движение не произвольно, а удовлетворяет дополнительным условиям, в которых участвуют как сами функции, так и их производные (вспомним хотя бы знаменитые законы Ньютона).

Определение 17.1 Дифференциальным уравнением относительна р неизвестных функций х, (t). XoU)…, X_p(t) называется любое равенство, выражающее связь между независимой переменной, набором из нескольких (функций от этой переменной и производных этих функций. Обычно наличие такого соотношения записывают аналитической формулой

Максимальное из чисел, щ (порядков производных, входящих в уравнение) называется порядком, уравнения.

Если уравнений не одно, а несколько, то говорит, что задана система дифференциальных уравнений.

Решением уравнения (системы) называется набор функций ?]. (?), Х2(t),…, Xp (t). такой, что i-я функция имеет щ непрерывных производных и что при подстановке этих функций в уравнение (систему) получается тождество.

Обычно предполагается, что число уравнений равно числу неизвестных р = q (это в определенном смысле «нормально»¹) и что в этих уравнениях старшие производные выражены через предыдущие, т. е. система записана в виде.

Такую форму записи называют канонический.

Далее, обычно систему уравнений (17.3) еще более «упрощают»: за счет переобозначений превращают ее в систему уравнений первого порядка. Поясним этот прием на одном уравнении n-го порядка.

Обозначим через х саму функцию х, через Х2 ее производную х', через хз вторую производную х" и так далее, и, наконец, через х_п обозначим.

'Если число уравнений меньше числа неизвестных, то систему называют не, доопределенной в этом случае, грубо говоря, несколько функций задаются произвольным образом, а остальные выражаются через них; если же число уравнений больше числа неизвестных, систему называют переопределенной, такие системы, за редким исключением, решений не имеют (ведь маловероятно, что два разных дифференциальных уравнения имеют какое-то общее решение). Несмотря на кажущуюся «неестественность», и те и другие системы изучаю тся в математике. Например, недоопределенные системы в теории оптимального управления (когда дополнительно надо из всех допустимых решений найти «наилучшее» в каком-то смысле), а переопределенные при исследовании задач с параметрами, когда надо найти те «исключительные» значения параметров, при которых общее для всех уравнений решение все-таки есть.

_x(n l) Хогда уравнение (17.4) будет выглядеть как.

которое вместе с соотношениями, описывающими связь Xi друг с другом.

образует систему дифференциальных уравнений первого порядка.

эквивалентную² исходному уравнению (17.4). Аналогично, если в системе уравнений (17.3) переобозначить все функции ж* и все их производные, кроме производных старшего порядка, через новые; переменные г/j, то получим систему дифференциальных уравнений вида.

где из т — п + пг + • •? + п_р уравнений р штук уравнения (17.3) в новых обозначениях, а остальные соотношения типа (17.5), описывающие связи между соседними производными, обозначенными теперь через различные xjj.

В дальнейшем мы будем предполагать, что система уравнений уже представлена в виде (17.7). При этом, чтобы не использовать лишних переобозначений, мы оставим за неизвестными функциями, относительно которых записано уравнение, обозначение ж, за правыми частями уравнений /;(…), а размерность системы (количество уравнений, оно же количество неизвестных) будем обозначать через п.

'^Продумайте. в каком смысле понимать эквивалентность!