Линейные однородные системы

Рассмотрим теперь линейную однородную систему.

Мы ведь можем для подведения под внешнее сходство записать и так:

Конечно, если прикладывать нагрузку неким «произвольным» образом (или, как говорят в теории управления, без обратной связи). Если же правую часть задавать в зависимости от, например, текущего состояния системы (то есть от x (t)). то это и будет го, что называется обратной связью, но для нас это будет уже другое дифференциальное уравнение с правой частью не f (t), a f (x), и оно будет обладать уже другими свойствами, в том числе и в плане устойчивости.

Для того, чтобы разобраться с устойчивостью нулевого решения этой системы, вспомним структуру общего решения:

где ух,…, у_п фундаментальная система решений, а С., С_п произвольные константы. Причем произвольные константы выражаются через вектор начальных условий уо линейным образом:

где Y(t) фундаментальная матрица, составленная из нашей фунда ментальной системы решений. Из написанных соотношений видно, что малости решения y (t) можно добиваться за счет малости коэффициентов С{ а их малость напрямую зависит от малости начального условия. Причем за счет выбора малых С% можно каждое слагаемое в формуле общего решения сделать малым если только функции у*(?), входящие в формулу, не стремятся к бесконечности, а точнее ограничены.

Теорема 27.2 Для того, чтобы линейная система (27.2) была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы, все ее решения, были, ограничены на [ф.+оо).

Доказательство. Необходимость (из устойчивости ограниченность). По определению устойчивости.

Пусть е = 1. Возьмем соответствующее 6 (обозначим его Si). Пусть теперь y (t) произвольное решение нашей системы. Найдем у (ф). Если llv (*o)ll < ф, то прямо сразу по определению устойчивости получаем, что ||y (t)|| < 1, что и означает ограниченность.

Если же ||у (Ф)|| > 1, то схитрим: подберем такое Л > 0, чтобы y{t) «вписалась» в определение устойчивости. Для этою необходимо всего-то навсего чтобы А||у (?о)|| < <5х. Такое, А всегда можно выбрать достаточно взять, А = 211^^)11 — Пользуясь тем, что Ay (t) решение системы.

(вот тут-то однородность и играет вместе с y (t) решением оказывается и любое пропорциональное), можно, в силу устойчивости, утверждать, что А||у (?)|| < 1, откуда ||y (it)|| < ^? Большая получилась при этом константа в правой части или маленькая уже неважно. Главное, что y{t) оказалось ограниченной, но норме некоторой фиксированной константой. Необходимость доказана.

Достаточность (из ограниченности устойчивость). Воспользуемся формулой общего решения, в силу которой.

(если yi (t) < Mj)

(через M обозначили максимальное из Mi)

так как сумма модулей это как раз одна из норм в конечномерном пространстве, обозначаемая || • ||j. Исходная норма || • || может и отличаться от || • ||ь но, несмотря на это, она всегда связана с нею неравенствами^[1]

с некоторыми положительными константами к, К. Таким образом, окончательно получаем

Далее, поскольку вектор С выражается через начальные условия соотношением С = У^-1(?о)?/(ь получаем.

Вот теперь можно и об устойчивости поговорить. Мы хотим сделать ||i/(t)|| меньше е? Чудесно! Что в нашем распоряжении? Полученное нами неравенство, тот факт, что ||уо|| < S, и возможность выбирать (5 но своему усмотрению. Так каким же будет наше усмотрение? Очевидно, что подбор d свелся к чисто арифметической процедуре: надо, чтобы оно равнялось е с таким множителем, который потом сократится с множителями в неравенстве. Итак, берем:

Тогда из || 1/о || < S следует.

Ура. победа. По е мы умеем находить 6 такое, чтобы для всех начальных условий, меньших по норме 6. соответствующее решение не превосходило по норме е. Устойчивость доказана. Доказательство теоремы завершено.

Замечание. Нетрудно заметить, что для доказательства достаточности мы пользовались ограниченностью не всех, а только фундаментальной системы решений. Поэтому для выяснения устойчивости достаточно исследовать только фундаментальную систему решений. Этот факт нам понадобится чуть позже при получении спектрального критерия устойчивости.

Аналогичным образом доказывается и следующая теорема.

Теорема 27.3 Для того, чтобы линейная система (27.2) была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все ее решения стремились к нулю при t —> -foo.

Замечание. Хотя, на первый взгляд, условие ограниченности функции никак не связано с ее стремлением к нулю на бесконечности, эти две вещи на самом деле зависимы. Дело в том, что мы обсуждаем именно решения дифференциального уравнения, которые по определению непрерывны (и даже дифференцируемы), а непрерывная функция, стремящаяся к нулю на бесконечности, наверняка будет ограничена на полуоси.

И, наконец, завершая этот параграф, сформулируем критерий неустойчивости. Это, на самом деле, та же теорема 27.2, только сформулированная «в отрицаниях⁴¹.

Теорема 27.4 Для. того, чтобы, линейная, система (27.2) была неустойчивой, необходимо и достаточно, чтобы хотя, бы одно ее решение было неограниченным на (to, +оо).

• [1] Это, на самом деле, один из самых нетривиальных фактов конечномерного анализа. Дело в том, что исходное соображение банально: рассмотреть отношение jon-, заметить, что на всем пространстве (кроме нуля) эта величина принимает те жезначения, что и на единичной сфере (в смысле || • ||i), что единичная сфера ограниченное замкнутое множество, что отношение норм на ней положительно и по теоремеВсйермп расса непрерывная на таком множестве положительная функция достигаетсвоих положительного наименьшего и наибольшего значений это и есть те самыеконстанты к, а К. Фокус в другом как углядеть непрерывность одной нормы относительно другой? Ведь без непрерывности вся конструкция просто развалится! Таквот, оказывается, эта непрерывность «зарыта» в аксиомы нормы и извлекается изних без труда если только знать, что искать…