Операции над множествами

После того как мы научились составлять и различать множества, можно приступить к определению и других операций над ними.

Естественно, что два множества могут иметь одинаковые элементы (их можно выделить в отдельное множество), из всех элементов двух множеств можно составить одно новое множество, также можно рассмотреть отдельно элементы одного множества, которых во втором множестве нет.

Например, А — множество наклеек (марок), которые есть у Пети, В — множество наклеек, которые собрал Вася. Можно выделить множество наклеек, которые есть у обоих ребят; коллекцию различных наклеек, собранных ими вместе; множество наклеек Пети, которых нет у Васи.

Таким образом, мы проделали операции пересечения, объединения и разности двух множеств.

Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств: С = {хх е А их е В}. Обозначается, АслВ.

Пример 2.17. Пусть А = {1; 2; 3}, В = {2; 3; 4; 5}, D = {10; 11}, тогда А п В = {2; 3}, А п D = 0.

Пример 2.18. А = {2п: п е N] — множество чисел, делящихся на 2у В = {3п: п е N) — множество чисел, делящихся на 3, тогда А сВ = {6w | п е N) — множество чисел, делящихся на 6.

Пример 2.19. А — отрезок [0; 5], В — отрезок [2; 7], тогда А пВ — отрезок [2; 5].

Пример 2.20. Студент, сдавший все экзамены на «отлично», получает повышенную стипендию. Сессия состоит из четырех экзаменов. Пусть А_х — множество студентов, сдавших i-й экзамен на «отлично» (i = 1, 2, 3, 4), тогда:

— множество студентов, получающих повышенную стипендию.

Объединением множеств А и В называется множество С, которое состоит из всех элементов данных множеств А и В и только из них: С = {х х е А или х е В). Обозначается А и В.

Пример 2.21. А = {1; 2; 3}, В = {2; 3; 4; 5}, тогда С^яЛиВ = {1;2; 3; 4; 5}.

Пример 2.22. А = (-°°, 2|, В = (1, +°°), тогда С = Ли В = R.

Пример 2.23. А = |0; 7], В = [3; 10], тогда А и В = |0; 101.

Пример 2.24. Если А — множество студентов, не сдавших первый экзамен, В — второй, то А и В — множество студентов-задолжников после двух экзаменов (не исключено, что кто-то не сдал оба экзамена).

Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В С = {х х е А и х В). Обозначается АВ.

Пример 2.25: 1) А = {1; 2; 3}, В = {2; 3; 4; 5}, тогда А В = {1}, ВА= {4, 5};

• 2) R Q — множество иррациональных чисел;
• 3) QR = 0.

Симметричной разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, и всех элементов множества В, не принадлежащих множеству Л: С = {х (х е А и х ? В) или (х е В и х ? Л)}. Обозначается А, А В.

Пример 2.26. Л = {1, 2,3,4, 5}, В = {4,5,6,7}, Л Л В = {1,2,3, 6,7}.

В каждом отдельном случае мы рассматриваем всевозможные подмножества одного и того же множества. Например, в начальной школе дети учатся работать (выполнять основные арифметические операции) сначала с числами из первого десятка натуральных чисел, затем из первой сотни и т. д. Но их действия не выходят за рамки натуральных чисел (отрицательные и дробные числа они будут проходить позже). Аналогично учитель может работать с некоторыми группами учеников, которые будут являться подмножествами определенного множества обучаемых данным учителем школьников. Каждый человек носит различные комбинации вещей, но только из своего личного гардероба. Это основное множество (свое в каждом отдельном случае) называется универсальным множеством.

Универсальным множеством называется множество, подмножества которого (и только они) в данный момент рассматриваются. Обозначают Е (или U в разной литературе).

При работе с числовыми множествами, если не дается дополнительных указаний, в качестве основного (универсального) множества будем считать множество R действительных чисел.

Дополнением множества А называется разность ЕА.

Обозначается А или А, и читается «не А». Иначе, дополнением множества А называется множество А', состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству А.

Пример 2.27. Е = {множество студентов в группе}, А = {множество студентов, сдавших первый экзамен}, тогда А = {множество студентов, не сдавших первый экзамен}.

Пример 2.28. Е = {буквы русского алфавита}, А = {множество гласных букв}, тогда А = {множество согласных букв и букв ь и ъ}.

Пример 2.29. Пусть Е — множество сотрудников школы, А — множество сотрудников старше 30 лет, В — множество сотрудников мужского пола, С — множество сотрудников, занимающих должности вспомогательного персонала.

Тогда В' — множество женщин; Л’п5пС — множество мужчин, занимающих должности вспомогательного персонала младше 30 лет; Л и (fi n С') — множество сотрудников старше 30 лет или мужчин, не занимающих должности вспомогательного персонала; В С — множество мужчин, не являющихся вспомогательным персоналом; С В — множество сотрудников вспомогательного персонала — женщин.

Пример 2.30. Даны множества А = {2, 3, 5, 8, 13, 15}, В = {1, 3, 4, 8, 16}, С = {12, 13, 15, 16}, D = {0, 1, 20}. Найти Л и В, С и Д В п С_у Ac^D, AC, DB, AvjB^jC, AnBcC, B^)DcC, ArCD.

Решение. Будем пользоваться определениями соответствующих операций и учтем, что сначала должна выполняться операция пересечения множеств, а затем уже объединение или разность.

Получим:

Л иВ = {1, 2, 3,4, 5, 8, 13, 15, 16};

С и D = {0, 1, 12, 13, 15, 16, 20};

В пС = {16};

А п D = 0;

ЛС={2, 3, 5, 8};

DB = {0, 20};

А и В и С = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 12, 13, 15, 16};

А п В n С =0;

BKjDnC={ 1,3,4, 8, 16};

AnCD = { 13, 15}.

Пример 2.31. Пусть Е = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, А = {1, 2, 3, 5}, В = {2, 4, 6, 8}, С = {1, 3, 5, 7}, D = {4, 5, 7, 8}. Выразить через заданные множества А, В_у С, D следующие множества: 1) К = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}; 2) L = {4, 7, 8}; 3) F- {2, 5}; 4) G = {5, 7, 9}.

Решение. 1) К = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8} = Л и Д.

• 2) L = {4, 7, 8} = ZM;
• 3) F={2,5}:
  • а) CD-{1,3};
  • б) A (CD) = {2, 5};
• 4) G = {5, 7, 9}:
  • а) Л n D = {5};
  • б) ЛиВ = {1,2, 3, 4, 5, 6, 8};
  • в) (ЛиВ)' ={7,9};
  • г) (Л п D) и [ (Л и Я)] = {5, 7, 9}.

Операции над множествами имеют следующие свойства.

• 1. Свойства операции пересечения:
  • а) Л п Л = Л;
  • б) Л п 0 = 0;
  • в) Л пЛ'=0;
  • г) АпЕ = А;
  • д) А п В = В пА.
• 2. Свойства операции объединения:
  • а) Л и Л = Л;
  • б) Ли0 = Л;
  • в) ЛиЛ'= Е;
  • г) А и Е = Е;
  • д) Akj В = В иЛ.
• 3. Свойства операции разности:
  • а) ЛЛ = 0;
  • б) Л = Л;
  • в) ЛЛ' = Л;
  • г) Л? = 0;
  • д) ?Л = А';
  • е) 0Л = 0;
  • ж) ЛВ + ВА.