Аппроксимация. 
Химическая технология: научные основы процессов ректификации. 
Часть 2

При обработке экспериментальных данных интерполяционные формулы не всегда удобны. Во-первых, при большом числе точек аппроксимирующие полиномы имеют высокую степень, поэтому при вычислениях с ними из-за большой величины отдельных слагаемых полинома могут возникнуть ошибки округления, обусловленные конечной точностью представления чисел в машине. Во-вторых, экспериментальные данные, как правило, имеют значительный разброс по точности измерения, особенно на концах отрезка определения функции. Поэтому вряд ли разумно всегда строить интерполяционный полином исходя из условия совпадения значений во всех узловых точках. Иногда целесообразнее воспользоваться некоторой функциональной зависимостью, вид которой заранее известен. В таких случаях параметры этой зависимости определяются из условия минимума отклонений расчетных и экспериментальных значений.

Характерной особенностью задач определения коэффициентов эмпирических зависимостей является то, что число неизвестных обычно всегда меньше числа уравнений, т. е. система уравнений переобусловлена.

Метод средних. Пусть задана последовательность точек), г = 1,2,…, п и известна зависимость.

параметры которой а_х, а_г,…, а₅ (s < п) подлежат определению. При подстановке x"y_t в уравнение (76), вообще говоря, оно не будет выполняться в силу неизбежных погрешностей при измерении значений х, и у" а также из-за возможных неточностей в определении общего характера зависимости (76). Левая и правая части будут отличаться на некоторую величину ?" равную.

Разности е, называются отклонениями и при графической интерпретации в системе координат х — у представляют собой расстояние по вертикали между экспериментальным значением и значением, рассчитанным по эмпирической формуле.

Метод средних заключается в следующем: за наилучшую эмпирическую зависимость принимается та, которая обеспечивает нулевое значение суммы отклонений по всем экспериментальным точкам.

т. е. параметры зависимости (76) выбираются так, что отклонения, имеющие различные знаки, в сумме компенсируются.

Поскольку число точек п в общем случае больше числа неизвестных параметров, задача расчета их значений не может быть решена прямым методом. Одним из способов ее решения является приведение системы (77) к нормальному виду (к виду, когда число уравнений в системе равно числу неизвестных).

В методе средних система.

обычно разбивается на s групп, каждая из которых содержит примерно одинаковое число уравнений. Уравнения нормальной системы при этом получаются суммированием исходных уравнений в каждой группе и приравниванием суммарного отклонения нулю. Таким образом, коэффициенты а_х, а₂,…, a_s определяются решением системы уравнений Результаты решения по методу средних зависят от способа группирования исходных уравнений. Практика показывает, что наилучшие результаты получаются в том случае, когда уравнения сгруппированы в порядке монотонного изменения одной из переменных.

Аппроксимирующие функции, используемые в методе средних, могут быть самыми разнообразными. Наиболее просто задача расчета параметров решается, когда аппроксимирующая функция либо линейна относительно коэффициентов, либо приводится к линейному виду.

Наиболее часто используемым классом эмпирических зависимостей является класс многочленов.

Метод наименьших квадратов Пусть задана последовательность экспериментальных точек (х,_у,), / = 1,2,…, л, которая аппроксимируется зависимостью.

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами в смысле приближения к экспериментальным значениям будут коэффициенты, найденные исходя из условия (64) (т. е. минимума суммы квадратов отклонений между экспериментальными и расчетными значениями):

При фиксированных значениях х, функция R (a_l, a₂,…, a_s) является положительно определенной функцией при любых значениях коэффициентов a_i, a₂, a₂,…, a_s и, следовательно, имеет минимум.

Необходимым условием существования экстремума функции нескольких переменных является равенство нулю частных производных по каждой из переменных. Таким образом, аналитически существование экстремума выражения (78) запишется в виде:

Легко заметить, что выражение (79) представляет собой нормальную систему уравнений, решением которой являются искомые значения коэффициентов a_t, j = 1,2,…,$.

Следовательно, в методе наименьших квадратов порядок определения коэффициентов эмпирической зависимости задается критерием опенки аппроксимации (78). Для определения коэффициентов необходимо для конкретной функции записать выражение вида (78) и продифференцировать его по каждой из переменных. Полученная система уравнений решается обычными способами.

Система уравнений (79) значительно упрощается и сводится к линейной, если аппроксимирующая функция f (x, a"a₂,…, a_s) линейна относительно коэффициентов (например, при использовании для аппроксимации многочленов).

Аппроксимация экспериментальных данных многочленами. Предположим, что последовательность экспериментальных точек / = 1,2,…, и необходимо описать многочленом степени т < п

Критерий (78) при этом запишется в виде: а система уравнений (79) запишется как.

или после преобразований

Уравнение (82) представляет собой систему нормальных уравнений. Если ввести обозначения.

то система (82) запишется в виде:

Пример 4. Зависимость теплоемкости жидких и газообразных веществ от температуры описывается выражением.

Определить коэффициенты а, Ь, с, если известны экспериментальные значения С, Т/, i = , 2,…, п .

Выражение критерия (81) для функции (84) запишется в виде:

и.

Следовательно, коэффициенты а, Ь, с определяются в результате решения системы уравнений:

Решение этой системы уравнений можно осуществить с помощью стандартных программ.

Аппроксимация с помощью произвольной эмпирической зависимости. Пусть для описания экспериментальных точек (х,?У,)> * = 1,2,…, и используется линейная зависимость вида:

где (р{х) — известные функции независимой переменной.

Записав выражение (81) для функции (85) и вычислив частные производные, получим следующую систему уравнений:

Пример 5. Для описания зависимости константы скорости химической реакции от температуры используется выражение в форме уравнения Аррениуса:

где К — константа скорости реакции; К" - предэкспоненциальная константа при Т-* оо Е- энергия активации реакции, R — газовая постоянная.

Определить параметры уравнения если известны экспериментальные значения К_пТ_п i = 1,2,…, я.

Выражение (86) нелинейно относительно искомых параметров, однако оно приводится к линейному виду после логарифмирования:

Обозначая

получим.

Таким образом, для определения параметров b и с необходимо решить систему линейных уравнений вида:

В качестве примера запишем систему (83) для т = 3, которая содержит четыре уравнения в соответствии с числом коэффициентов полинома третьей степени:

Основная трудность многочленной аппроксимации по методу наименьших квадратов заключается в решении нормальной системы уравнений. Поскольку коэффициентами системы являются суммы аргументов в соответствующих степенях, то при высокой степени многочлена они могут иметь значительный разброс по абсолютной величине, в силу чего система может быть плохо обусловленной и ее определитель близок к нулю. Поэтому решение таких систем итерационными методами без соответствующего преобразования редко бывает успешным, поскольку для них, как правило, не выполняются условия сходимости (48).

Метод наименьших квадратов позволяет определить коэффициенты известной эмпирической зависимости. Если предполагаемая зависимость не обеспечивает наилучшего приближения, то необходимо выбрать другую зависимость или изменить степень полинома.

Пример 6. Для экспериментальных данных х 0,01 0,02 0,06 0,152 0,333 0,588 0,725 0,898 0,994 у 0,095 0,195 0,365 0,532 0,63 0,65 0,67 0,71 0,935,.

подчиняющихся зависимости.

определить коэффициенты а, Ь, с по методу наименьших квадратов и методу средних.

Решение. По программам метода средних и метода наименьших квадратов получены следующие коэффициенты:

Метод средних я = 0,1672 Ь= 1,7587 с = -1,2022.

Метод наименьших квадратов я = 0,2247 Ь= 1,1543 с = -0,5722.

В табл. 6 приведена погрешность аппроксимации Ау, =(.у, -д^), 1 = 1,2,…, 9, рассчитанная по указанным методам в каждой точке.

Уточнение аппроксимирующей зависимости. После вычисления коэффициентов аппроксимирующего полинома по одному из представленных методов может оказаться, что отклонения расчетной и экспериментальной зависимостей будут все же более значительными, чем это желательно. В этом случае целесообразно изменить степень полинома при многочленном приближении и повторить вычисление коэффициентов, т. е. попытаться подобрать полином наилучшего приближения. Иногда целесообразнее улучшить распределение погрешности путем введения дополнительного коэффициента в полученную полиномиальную аппроксимацию или воспользоваться экономизацией многочлена с помощью полиномов Чебышева.

Уточнение зависимости с помощью дополнительного коэффициента осуществляется следующим образом. Представим уравнение (80) в виде.

где с — некоторая постоянная величина.

Тогда для функции (87) сумма квадратов отклонений равна.

Выбирая величину с так, чтобы сумма квадратов новых отклонений была минимальной.

найдем.

Таким образом, дополнительный коэффициент определится как сумма отклонений.

Таблица 6. Погрешность аппроксимации по примеру 6

Экономизация зависимости с помощью полиномов Чебышева основана на том, что аппроксимация полиномами Чебышева по сравнению с другими полиномами такой же степени обеспечивает наименьшее отклонение функции. Более того, при заданной точности такие полиномы позволяют уменьшить число членов разложения. Последнее особенно важно при использовании вычислительных машин для расчетов, так как соответственно уменьшаются ошибки округления и затраты машинного времени. Уменьшение числа членов аппроксимирующего многочлена с помощью полиномов Чебышева носит название процесса экономизации.

Полиномы Чебышева принадлежат классу ортогональных полиномов и определяются следующей формулой:

или.

Полиномы Чебышева ортогональны на интервале [-1, 1], т. е.

так как тригонометрические функции {cos kt} ортогональны на интервале [-л, л].

Выражения для Т" (х) могут быть найдены разложением.

cos пв по степеням cos 0, например 7?(х) = cos 20 = cos²0 — _sin2₀ = _x2__(I__;c2_{) = 2;c}2_₁

Однако удобнее воспользоваться рекуррентным соотношением, связывающим полиномы Т_п+ (х), 7'"(х), Т"-(х)

которое следует из тригонометрической формулы 2 cos п 0 х х cos 0 = cos (п+ 1)0 + cos (п — 1) 0, если учесть, что Т (х) = = cos 0 = х.

Основным свойством полиномов Чебышева является то, что они обеспечивают равномерное приближение функции на интервале [-1, 1] к нулю и дают в этом интервале наименьшее отклонение от нуля по сравнению с другими полиномами такой же степени со старшим коэффициентом, равным единице.

Экономизация многочленных приближений заключается в следующем. Пусть дана некоторая функция.

заданная на интервале [-1, 1]. Если интервал определения функции/(х) равен (а, Ь), то для перехода к интервалу [-1, 1] необходимо воспользоваться заменой переменных.

Для функции / (х) можно записать соответствующее разложение по полиномам Чебышева, так что.

Экономизация заключается в том, что сначала различные степени выражаются через Т" (х) и вычисляются коэффициенты Ь", а затем выполняется обратное преобразование, т. е. каждый полином Т" (х) выражается через соответствующие степени х. Оказывается, что в результате такого преобразования степень исходного полинома может быть понижена без существенной потери точности.

Таким образом, для того чтобы осуществить экономизацию степенного ряда, необходимо располагать формулами для перевода степеней х^к в полиномы Чебышева, и наоборот.

Общая формула перехода от х" к полиномам Чебышева имеет вид:

L.

где С" - сочетания из п элементов по ?, определяемые по формулам.

[½ п] — наибольшее целое число, не превосходящее ½ п.

Для перехода от Т" (х) к степенному ряду можно воспользоваться рекуррентным соотношением (88) или более общим выражением:

Подставляя выражение (91) в правую часть соотношения (89) получим:

откуда следует, что.

При больших п каждый из коэффициентов Ъ_п оказывается значительно меньше соответствующего коэффициента а_п. Поскольку хе [-1, 1], то найдется такое т, что сумма.

будет меньше точности степенного ряда. Следовательно, при р = п — т выражение (89) будет справедливо с точностью не ниже точности степенного ряда.

Если коэффициенты степенного ряда в левой части выражения (89) заранее известны, то экономизацию ряда можно осуществить, воспользовавшись непосредственными выражениями для х^п и Т_п (х) согласно формулам (88) и (90). Выражения для Т" (д:) через х^п и для х^п через Т_п (*) при п = 0, 1,2, 3, 4, 5 представлены в табл. 7.

Пример 7. Рассмотрим ряд Тейлора для показательной функции с членами до д:⁵ включительно, в котором каждый из коэффициентов представлен пятью значащими разрядами:

Исключим х⁵ с помощью полиномов Чебышева, для чего х⁵ заменим выражением.

и подставим в ряд для е

Поскольку ошибка знакопеременного степенного сходящегося ряда не превосходит по абсолютной величине последнего отбрасываемого члена, то ошибка полученного ряда с учетом того, что |Г₅1s 1, не превосходит |е| <5,2-КГ⁴. Если вычислить сумму рядов (92) и (93) при х = 1, то для значения основания натурального логарифма можно получить по формуле (92) е = 2,7083, а по формуле (93) е = 2,7161. Точное значение до пятого десятичного знака е = 2,7182.

Аппроксимация экспериментальных данных произвольной линейной зависимостью. Выше уже отмечалось, что нормальная система линейных уравнений в случае многочленного приближения иногда бывает плохо обусловленной, и ее определитель близок к нулю. Это означает, что между отдельными уравнениями системы имеется слабо выраженная линейная зависимость, т. е. одно уравнение может быть заменено линейной комбинацией других с некоторой поправкой. С увеличением порядка системы, т. е. с ростом степени аппроксимирующего полинома в силу разброса коэффициентов системы, понижается точность машинных расчетов, и нормальная система уравнений вырождается. Поэтому решение системы уравнений выше пятого-шестого порядков прямыми методами затруднительно. Эффективным способом преодоления указанных трудностей является метод использования ортогональных полиномов (например, полиномов Чебышева и Лежандра), когда матрица коэффициентов нормальной системы сводится к диагональной, решение которой тривиально. Однако использование таких полиномиальных приближений обычно сопряжено со значительными вычислительными трудностями.

Иногда удобнее (а часто и желательнее) обрабатывать экспериментальные данные в форме зависимостей, коэффициенты которых имеют определенный физический смысл. Удобство состоит в том, что некоторая зависимость может быть описана с достаточной точностью специальной функцией с меньшим числом параметров, а следовательно, с меньшими ошибками вычислений. С другой стороны, например, зависимость константы скорости химической реакции как функции температуры может быть аппроксимирована полиномом, однако целесообразнее ее описывать уравнением Аррениуса, когда параметрам этого уравнения придается конкретный физический смысл.

Метод наименьших квадратов эффективен в том случае, когда аппроксимирующая зависимость линейна относительно параметров. В противном случае для определения параметров приходится решать систему нелинейных уравнений, сходимость решения которой не всегда может быть обеспечена простыми методами. Поэтому чаще всего нелинейные зависимости стараются привести к линейному виду путем соответствующих аналитических преобразований или заменой переменных.

Рассмотрим несколько примеров приведения функций к линейному виду.

1. Зависимость давления паров чистых компонентов от температуры описывается уравнением Антуана.

Это уравнение для определения коэффициентов А, В, С по методу наименьших квадратов можно также привести к линейному виду преобразованием с заменой переменных:

где х, =АС-В х₂=А; х₃ = С.

2. Скорость каталитической реакции синтеза хлористого этилена из этилена и хлористого водорода в присутствии метана (А + В С) описывается уравнением:

При известных значениях г_А, Р_А, Р_в, Р_с, Р_Е константы К, К_А, К_В, К_С, К_Е можно определить по методу наименьших квадратов, если уравнение скорости реакции записать в виде:

и сделать замену переменных x,=i 14к-, х_г = к_А1^к-, х₃ = K_B/JK; х₄ = KjjK; х₅ = К_Е/у[к .

Общий порядок получения нормальной системы уравнений в форме выражения (79) при немногочленном приближении не отличается от ранее рассмотренного, за исключением того, что коэффициенты матрицы вычисляются по более общим формулам.

Пусть эмпирическая зависимость /(х, а|, а₂>—->^ат) в выражении (79) линейна относительно коэффициентов а, •••>

а_т и задается формулой.

Тогда уравнение (79) запишется как или.

Таким образом, нормальная система уравнений запишется Обозначим.

тогда система уравнений будет иметь вид:

Рассмотрим порядок получения матрицы коэффициентов нормальной системы с помощью матричных операций. Матрица коэффициентов системы (96) квадратная и симметрическая порядка ту. т, тогда как матрица исходной переобусловленной системы — прямоугольная и имеет размерность т у п. Обозначим.

тогда матрица коэффициентов исходной системы уравнений запишется как.

а соответствующая расширенная матрица как.

Сравнивая (97) и (98), можно заключить, что коэффициенты матрицы нормальной системы уравнений (95) могут быть получены в результате умножения транспонированной матрицы коэффициентов (97) на расширенную матрицу (98).

Таким образом, для решения задачи расчета коэффициентов зависимости (94) методом наименьших квадратов необходимо располагать тремя матричными операциями: транспонирования, умножения и решения системы уравнений (или вычисления обратной матрицы).