Закон больших чисел

Под законом больших чисел так же, как это имело место для центральной предельной теоремы, не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел — это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным. Мы рассмотрим лишь две формулировки соответствующего плана.

Во-первых, приведем формулировку Я. Бернулли (1654—1705) — ученого, открывшего закон больших чисел. Теорема Бернулли утверждает, что в последовательности независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления некоторого события А имеет одно и то же значение р, 0<�р< I, верно соотношение.

при любом е > 0 и п -* оо. Здесь S — число появления события А в п испытаниях, S/n — частота появлений. Другими словами, при достаточно большом числе испытаний вероятность того, что частота появления события будет значимо отличаться от соответствующей вероятности, практически сводится к нулю.

Во-вторых, вспомним творчество П. Л. Чебышева.

Частный случай теоремы Чебышева (1867) — если X_r X_v …, Х_п — выборочные значения случайной величины Х_у имеющей математическое ожидание MX и дисперсию DX_y то для любого как угодно малого е имеет место соотношение^[1]:

Итак, при увеличении объема выборки вероятность того, что вычисленное для выборки среднее арифметическое значение рассматриваемой случайной величины с вероятностью, практически равной единице, будет совпадать с соответствующим математическим ожиданием. Другими словами, среднее арифметическое случайной величины обладает определенной устойчивостью.

Этот факт дает нам еще одно основание для использования среднего арифметического как выборочной оценки генерального параметра — математического ожидания.

Основное значение теоремы Чебышева именно в том и состоит, что она позволяет, используя среднее арифметическое, получить представление о величине математического ожидания^[2].

Перейдем к более подробному рассмотрению того, каким образом генеральные параметры можно оценивать с помощью адекватным образом подобранных статистик.

Литература

к теме 4

Основная

Бернулли Я. О законе больших чисел. М., 1986.

Пасхавер И.С. Закон больших чисел и статистические закономерности. М.: Статистика, 1974.

• [1] Строго говоря, здесь следовало бы величины Xr Xv …, Xa рассматривать какреализацию значений п независимых одинаково распределенных случайных величин.
• [2] 17 В середине и второй половине XIX в. в тех исследованиях, которые мы сейчас причисляем к области эмпирической социологии (тогда они отождествлялисьс исследованиями в области политической арифметики, моральной статистики, а в России — сше и земской статистики), активно использовались идеи известногобельгийского ученого Л. А. Ж. Кетле (1796—1874), создателя так называемой теории"среднего человека". Однако подлинное теоретическое обоснование эта теория получила лишь в работах Чебышева.