Логарифмические частотные характеристики динамических звеньев

Удобной формой представления частотных характеристик являются логарифмические характеристики, включающие в себя логарифмическую амплитудную характеристику (ЛАХ) и логарифмическую фазовую характеристику (ЛФХ).

В теории автоматического управления при исследовании динамических свойств САУ (главным образом устойчивости) пользуются логарифмическими частотными характеристиками (ЛЧХ). Также эти характеристики широко применяются при определении структуры и параметров регуляторов, формирующих заданный переходный процесс в системах автоматического управления.

Логарифмируя левую и правую части уравнения АФЧХ, можно записать.

Зависимости 1пЛ (со) и <�р (со) представляют собой соответственно логарифмические амплитудную и фазовую характеристики.

Для оценки отношения двух однородных величин принято использовать логарифмическую единицу децибел (дБ). Связь между числом L и числом А выражается формулой L = 20 IgA Например, если число А = 10, то L = 20lgА = 20 дБ, так как lg 10 = 1.

Л АХ и ЛФХ представляются в этом случае в виде графиков в прямоугольной системе координат. По оси абсцисс откладывается частота о> в логарифмическом масштабе, а по оси ординат — значения амплитуд ЛАХ в децибелах и углы ЛФХ в градусах (или радианах) в равномерном масштабе.

Безынерционное звено. Логарифмируя АФЧХ этого звена, получим Дсо) = 20lgк. Так как к от частоты не зависит, ЛАХ безынерционного звена будет представлять собой прямую, параллельную оси абсцисс (рис. 9.25).

Апериодическое звено. Логарифмируя АФЧХ этого звена, получим.

Рассмотрим вторую составляющую ЛАХ:

Из этого выражения, полагая, что со²Г² «1, получим Ь₂((о) = 0, так как lg 1 =0. Если со²Т² « 1, пренебрегая единицей, найдем L₂(о) = -20lg (o7'. При соТ = 1 подкоренное выражение будет равно двум, a L₂(со) = 3 дБ. ЛАХ в этом случае можно представить в виде двух прямых (асимптот), сопряженных в точке co_s = 1 /Т. При этом частота co_s называется сопрягающей; одна из асимптот Ь₂{со) = 0 совпадает с осью абсцисс, а вторая L₂(co) = —20 lg Т' наклонена по отношению к ней.

Угол наклона второй прямой найдем на основании следующих соображений. При частоте со = coj ордината прямой равна —20 lgco, Г, а при частоте, например, со = 2со, она составит -201g2co|7'. Найдем разность этих ординат:

Таким образом, при двухкратном изменении частоты прямая имеет наклон -6 дБ на октаву. Под октавой понимается интервал на оси абсцисс, соответствующий двухкратному изменению частоты. Разность ординат при десятикратном изменении частоты составит:

Наклон прямой в этом случае -20 дБ на декаду (-20 дБ/дек.). Под декадой понимается интервал на оси абсцисс, соответствующий десятикратному изменению частоты. Знак «минус» показывает, что при возрастании частоты ординаты ЛАХ убывают (отрицательный наклон).

Рис. 9.26. ЛАХ и ЛФХ апериодического звена.

На рис. 9.26 показано сопряжение двух асимптот. Первая представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и отстоящую от нее на расстояние 20 lgfc. Вторая наклонена по отношению к ней на -20 дБ/дек. Суммируя L, и 1_Ъ получим результирующую ЛАХ апериодического звена Z-(co). В окрестности частоты со_с сопряжение асимптот может быть произведено плавной кривой, проходящей через точку, лежащую ниже точки их пересечения на 3 дБ. Частота ш_с, при которой ЛАХ пересекает ось абсцисс, называется частотой среза.

Логарифмическая фазовая характеристика ср (со) = -arctg<�р (0) = 0; ф (м₅) = -45'; ф (оо) = -90'.

Для построения ЛАХ колебательного звена целесообразно его уравнение представить в виде.

2 1 t2.

где coq = ——; $²=-?-.

‘i¹ 2 ¹¹г

Прологарифмировав это выражение, получим уравнения логарифмических амплитудной и фазовой характеристик:

Семейство кривых ЛАХ и АФХ для одного и того же значения со₀ и различных значений построенное по этим уравнениям, приведено на рис. 9.27. Эти кривые построены без учета первого и второго слагаемых уравнения для Zxo, так как они являются постоянными величинами. В отличие от предыдущих графиков для придания универсальности кривым по оси абсцисс откладываются значения со/о)₀.

При значениях % от 0,35 до 0,75 с достаточной точностью вместо кривых АФХ можно использовать две прямые асимптоты, сопрягающиеся в точке co/(i)₀ = 1. Действительно, при со/со₀" 1.

при (о/со₀ «1.

Наклон второй асимптоты, определяемый уравнением —20 Ig со², составляет 12 дБ на октаву, или -40 дБ/дек. При любых других значениях? характеристики L (со) необходимо строить по точкам.

Дифференцирующее звено. Прологарифмировав уравнение этого звена, найдем.

ЛАХ Z,(co) строится по трем составляющим (рис. 9.28). Первая составляющая 2,(со) = 20Ig/: — это прямая, параллельная оси абсцисс; вторая составляющая L₂(со) = 20 lgco7″ — это прямая, имеющая положительный наклон 20 дБ/дек и проходящая через точку на оси абсцисс, соответствующую сопрягающей частоте со* = 1 /Т. Третья составляющая Z,₃(со) = -20 lgVco²T² + 1 имеет две асимптоты, сопрягающиеся в точке со* = 1 /Г, одна из которых совпадает с осью абсцисс, а вторая имеет отрицательный наклон -20 дБ/дек.

Рис. 9.29. ЛАХ и ЛФХ интегрирующего звена.

Просуммировав эти три составляющие, получим результирующую ЛАХ дифференцирующего звена Дсо).

ЛФХ ф (со) строится по точкам. Ее характерные точки: <�р (0) = 90°; <�р (со₅) = 45°; ср (оо) = 0.

Интегрирующее звено. ЛАХ этого звена строится по уравнению Доз) = 20 IgA: — 201go), а уравнение ЛФХ имеет вид ф (оз) = -л/2.

ЛАХ (рис. 9.29) представляет собой прямую, проходящую через точку оз = 1 на расстоянии 20 IgA: от оси абсцисс и имеющую наклон -20 дБ/дек. ЛФХ выражается прямой, параллельной оси абсцисс и отстоящей от нее на расстояниел/2 (-90°).

Запаздывающее звено. Уравнения логарифмических амплитудной и фазовой характеристик этого звена соответственно имеют вид Доз) = 20 IgA:; ф (оз) = -сот.

Таким образом, ЛАХ запаздывающего звена аналогична ЛАХ безынерционного звена, а ЛФХ представляет собой кривую с неограниченным возрастанием угла ф (оз) при изменении частоты оз от 0 до оо.