Передаточная функция цифрового четырехполюсника

При использовании преобразования Лапласа для аналогового сигнала передаточная функция четырехполюсника (см. рис. П7.2, а) на комплексной частоте рК (р)= У (р)/Х (р).

Передаточную функцию для синусоидального процесса получаем, заменяя р на;оо: K (jw) = У (/со)/М (/оз).

Для цифрового входного сигнала вместо Х (р) будет Xiz). Поэтому передаточная функция цифрового четырехполюсника (системная функция цифровой системы) на рис. П7.2, б.

Составим K (z) примера, описывающего разностное уравнение (П7.4). В соответствии с формулой (П7.7)

Уравнение (П7.4) запишем так:

Обратное Z-преобразование

Обратное Z-преобразование осуществляют по формуле.

Контурный интеграл берется по замкнутому пути С в области сходимости функции X (z) на плоскости z. Формула (П7.9) — это аналог формулы обратного преобразования Лапласа:

Известно, что нахождение оригинала x (t) по изображению осуществляют обычно не путем взятия контурного интеграла, а более простым путем, разлагая Х (р) = iV (p)/M (p) на сумму простых дробей (см. пара;

м Аь

граф 8.49), т. е. Х (р) =? ——-корни уравнения М (р) = 0, и затем,.

k=iP~Pk

Аь .

учитывая, что —-— = А_кеРк^с, получаем Р~Рк

Аналогично поступают и при обратном Z-преобразовании.

Функцию X{z) записывают в виде.

и находят корни z~^l знаменателя МОг^-1) = 0. Положим, что все они действительны и различны. Тогда X{z) можно представить суммой простых дробей.

Переход от X (z) к цифровой функции времени х (п) осуществляют с помощью соотношения а^пи (п) —> —-—- (см. параграф П7.1). В резуль;

1 -az~^l

тате получим.

N (z^-1) 0 5.

Пусть-— ————и MXz^-1) = 0 имеет корни zt - 1 и 2.

• 3 M (z^_1) 0,5z^-2 -l, 5z^_1 +1 f 1,2
• 1

Им соответствуют р_г = 1 / zp¹ = 1 и р₂ = 1 / z₂¹ = —;

Пример 178.

Отсюда X (z) = ——-——По формуле (П7.14) цифровая функция.

1 -z~^l l-0,5z^_1

времениx (n) = (1−0,5 • 0,5^П)и (п) =0,5; 0,75; 0,875; 0,9375; … .

Если среди корней уравнения M (z^_1) = 0 будет два комплексно-сопряженных корня: p_Q = а + и p_R = а — j|3, то и коэффициенты Bq и B_R будут комплексно-сопряженными (B_Q = т + jq, B_R = т — jq). Этим корням в формуле (П7.14) будет соответствовать вещественное слагаемое.

Если знаменатель X (z) в формуле (П7.11) будет иметь корень z_r = р_г кратности г, то соответствующее этому корню слагаемое в формуле (П7.14) определим как вычет функции X (z) в кратном полюсе.

(см. аналогично в параграфе 8.50 для операторного метода).

Соответствие между полюсами аналогового и цифрового четырехполюсников

Передаточную функцию аналогового четырехполюсника представим в виде.

Полагаем, что корни р_к различны и нет кратных корней. Оригиналом (П7.16) будет импульсная переходная функция.

Дискретизируем /i⁵(t): fr⁸ (гс) = fr⁸ (t)|. В соответствии с формулой.

(П7.17).

Для нахождения передаточной (системной) функции цифрового четырехполюсника подвергнем /i⁸(n) Z-преобразованию:

Но по формуле разложения.

поэтому.

Сопоставляя (П7.16) и (П7.18), получаем соответствие.

Таким образом, полюсу р_к аналогового четырехполюсника отвечает полюс еРь^т цифрового.

Переход от передаточной функции аналогового четырехполюсника к передаточной функции соответствующего цифрового

м А.

Известны два основных способа перехода. В первом в К (р) =? —-—.

k=iP~Pk

каждый член суммы заменяют на-—- в соответствии с (П7.20).

l-ePkT_z-i

Этот метод называют методом инвариантности переходной характеристики.

Второй метод — метод билинейного преобразования состоит в том,.

2 1 -z~^l

что в К (р) заменяют р на—Эта замена может быть обоснована.

^{F F} Tl + z-¹

так: возьмем натуральный логарифм равенства еР^т = z. Получим рТ =

(z-1)

= Inz. Разложим Inz в ряд и возьмем первый член ряда lnz = 2 -+ … .

z + l)

_Л 2 z-1 21-Z-¹

Отсюда р = —г.

Т z + 1 Т1 + z ¹

Рассмотрим эти методы на примере.

Пусть у аналогового прототипа.

Согласно первому методу.

По второму методу