Модель ракеты для расчета поперечных колебаний

Составление динамической модели ракеты рассмотрим на примере баллистической ракеты на жидком топливе, содержащей подвижные жидкие массы, колеблющиеся относительно стенок баков. На рис. 90 изображена возможная динамическая модель ракеты в виде балки переменной погонной массы и жесткости, внутри которой имеются сосредоточенные массы/и Д / = 1,./), а также массы, подвешенные на пружинах, т_: = (/ = 1,1), которые имитируют жидкость.

Рис. 90.

При расчете колебаний любой конструкции наибольшие трудности вызывает расчет форм колебаний — функций, описывающих ее пространственную конфигурацию в процессе колебаний. В дальнейшем речь будет идти только о форме колебаний первого тона, которая является определяющей с точки зрения расчета нагрузок, действующих на конструкцию. Там же, на рис. 90, изображена форма колебаний ракеты и указаны ее значения в местах крепления сосредоточенных грузов /.? жидкого топлива .

Методы расчета форм колебаний подробно рассматриваются в курсах теории колебаний, а здесь будем считать, что она известна и определяется как форма колебаний балки постоянной погонной массы и жесткости. Для балки, находящейся в свободном полете, с точкой приведения в ее вершине (jc₁ = 0) форма колебаний и се производные записываются гак:

Здесь C = T (a)/U (a) — константа; = х_хИ — безразмерная координата; а = 4,73 — константа, соответствующая форме колебаний первого тона. Функции А. Н. Крылова определяются по следующим формулам:

Иногда форму колебаний аппроксимируют полиномами или тригонометрическими функциями.

Так как модель корпуса содержит сосредоточенные массы, а также грузы на пружинках, то приведенная масса определяется по формуле.

где т • - масса сосредоточенного груза; ш, — приведенная масса жидкости в /-м баке; г|, — коэффициент динамичности для жидкости, колеблющейся в баке; т (х) — погонная масса, вычисляемая без учета массы грузов и приведенных масс жидкости.

Для случая поперечных колебаний корпуса, возбуждаемых гармонической силой, = 1 /(1 — р²), где (3 = ш, /со, — отношение частот; со, — частота внешней возбуждающей силы;

'1,84, Л84/, Л⁰'⁵ _ _ «.

со, = -n_xgth (—) — частота собственных колебании жид;

R R

кости в баке; R — длина цилиндрической обечайки бака и ее радиус; п_хХ — осевые перегрузки ракеты.

Точка крепления приведенной массы жидкости в бакс т, - 0,4545л/?³р//?(1,84(/_/ //?)) находится на расстоянии.

^Х‘ ⁼ 0 92 ^^92/, / R) от свободной поверхности жидкости. Приведенная жесткость при поперечных колебаниях.

где В (х) = EJ (x) — жесткость балки на изгиб; ./(х) — момент инерции текущего сечения ракеты; k_i = to,²m, — приведенная жесткость жидкости в баке при поперечных колебаниях.

Приведенная внешняя нагрузка определяется по формуле.

Р (х, /) — внешняя погонная нагрузка.

Рассмотрим два наиболее часто встречающихся случая расчета приведенной нагрузки.

При циклическом порыве ветра

где р (х) — погонная нагрузка от порыва ветра, определяемая по формулам из п. 4.5; co_s =n/At_s — циклическая частота порыва ветра; Дt_s = 2ДН / у — время прохождения ракетой зоны порыва ветра; АН ~ (2 — 3)>у — половина ширины слоя атмосферы, в пределах которого распространяется порыв ветра; у, w — скорость ракеты и ветра соответственно. Для схемы ракеты, состоящей из конуса с цилиндром, статическую погонную нагрузку от порыва ветра р (х) аппроксимируем так:

где р_к, р_п — максимальные значения погонной нагрузки на конусе и цилиндре. Подставляя (12.8) в (12.7) и учитывая (12.6), получаем P (l) = Р₀ sin оу, где.

— эффективная внешняя нагрузка.

В качестве второго примера рассмотрим расчет приведенной нагрузки при работе органа управления, который создает поперечную силу У_р в точке оси ракеты с координатой х_Хр . В этом случае.

где 6(д‘] — Х_г) — дельта-функция; со, — частота колебаний органа управления. Теперь

а искомая приведенная внешняя P (t) = Y_pf (x_lp)sina)_st нагрузка, где J (x_lp) — значение формы колебаний в точке приложения силы, создаваемой органом управления.

Динамический изгибающий момент при воздействии циклической нагрузки. В этом случае уравнение колебаний точки приведения можно записать как.

где о — собственная частота колебаний корпуса ракеты, а Р₀ определяется по формуле (12.9) для циклического порыва ветра или (12.10) при работе органа управления. Решение (12.11) имеет вид.

где р = со₅/со — отношение частот. Статическое перемещение в этом случае равно: и_с= PJk*, а динамическое растет по мере приближения к р = 1 и убывает прир>1. При фиксированном р коэ ффициент динамичности равен:

В резонансном случае г|_д имеет колебательный характер и возрастает с течением времени. На рис. 91 построен график изменения коэффициента динамичности в зависимости от Р в резонансном случае, а на рис. 92 — при фиксированном р в зависимости от времени.

Рис. 91.

Рис. 92.

Получим выражение для динамического изгибающего момента, воспользовавшись приведенным решением. Имеем.

Подставляя сюда выражение для формы колебаний балки постоянной массы и жесткости (12.4), а также решение (12.12), получаем.

Как и коэффициент динамичности, изгибающий момент резко возрастает в резонансном случае, когда частота co_s = со. Беря различные значения Р₍₎, получаем формулу для момента при воздействии циклического порыва ветра или работе органа управления.

Отметим еще, что статический изгибающий момент от Y_р и порыва ветра равен нулю, так как под их действием ракета вращается вокруг собственного центра масс.

Динамический изгибающий момент, выраженный через угол наклона изогнутой оси ракеты. Простое выражение для динамического изгибающего момента можно получить, если известен угол наклона оси ракеты в ее носке к оси симметрии. Исходное выражение для изгибающего момента:

где >^| (JCj, /) = f (x_{)u (t) — смещение оси ракеты от положения равновесия. Но угол наклона оси ракеты в точке приведения.

откуда м (/) = 0^//(0), тогда.

*.

а динамический изгибающий момент определяется по формуле.

которой удобно пользоваться, если известен угол 0_jV, определенный из каких-нибудь других соображений. Данное выражение является иной формой записи формул (12.13) для динамического изгибающего момента.