Возникновение пластических деформаций внутри стенки цилиндра или шара (а < гт < Ь)

При образовании пластических деформаций внутри стенки дальнейшее увеличение разности давлений р ведет к расширению пластической зоны в обе стороны, до тех пор пока одна из границ этой зоны не совпадет с одной из поверхностей тела, и далее до полного перехода тела в пластическое состояние. Обозначая меньший радиус пластической зоны г_р а больший — г₂ и удовлетворяя граничным условиям (7.34) и (7.35), можно найти восемь соотношений для определения неизвестных C_v С₂, С₃, С₄, Д В, г_{ и г₂, где С₃ и С₄ — константы решения типа (7.27) или (7.29) для внешней упругой зоны. Следует отметить, что в отличие от предыдущего случая здесь не удается найти напряжения, не рассматривая перемещений, так как иначе для семи неизвестных (исключая В) будет только шесть граничных условий. Решение системы из восьми уравнений несколько сложнее, чем в рассмотренном выше случае, поскольку наряду с одним трансцендентным уравнением появляется еще одно нелинейное соотношение, связывающее г, и г₂:

1.png" alt="Возникновение пластических деформаций внутри стенки цилиндра или шара (а < гт <Ь)." loading="lazy">

Очевидно, что это уравнение удовлетворяется при г, = г₂, что соответствует моменту появления пластических деформаций (г = г_т). Кроме того, это уравнение должно иметь еще решения при а < г, < г_т и г_т < г₂ < Ь. Задаваясь различными значениями г, на интервале (а, г_т) (при этом значение r_T определяется заранее из уравнения (7.32)), можно численно определить соответствующее значение г₂. Если при этом пластическая зона раньше выходит на внешнюю поверхность, то следует по значению г₂ определить r_v

Каждой паре значений r_v г₂ соответствует разность давлений р, которая определяется по формуле.

2.png" alt="Возникновение пластических деформаций внутри стенки цилиндра или шара (а < гт <Ь)." loading="lazy">

Построив зависимость p (r_v г₂), можно, зная р_а и /?_л, определить границы пластической зоны. После этого определяются остальные константы:

3.png" alt="Возникновение пластических деформаций внутри стенки цилиндра или шара (а < гт <Ь)." loading="lazy">

Константа 5 находится из соотношений (7.37).

Ниже приводятся некоторые результаты расчетов, выполненные согласно приведенной методике при различных значениях отношения k₂ = a/b и параметров неоднородности k_D k_a, т_Е и m_G. На рис. 7.9 приведены графики зависимости от k_F места образования пластической зоны в цилиндре и шаре для нескольких значений k_a при т_Е = т_а = 2. С увеличением k_G при постоянном значении k_E место образования пластической зоны смещается от внутренней поверхности тела в глубь стенки. Увеличение же k_E, наоборот, ведет.

Рис. 7.9. Зависимость места образования пластической зоны от k_F и k_c в цилиндре (а) и шаре (б).

к уменьшению радиуса г_т. Эти два факта становятся понятными из рис. 7.10, где схематически изображен момент начала образования пластических деформаций в соответствии с условием (7.23).

Для пластически однородного и упруго неоднородного тела условие образования пластических деформаций на внутренней поверхности цилиндра или шара может быть выражено элементарным соотношением.

5.png" alt="Возникновение пластических деформаций внутри стенки цилиндра или шара (а < гт <Ь)." loading="lazy">

На рис. 7.11 приведены зависимости разности давлений Р_Т ⁼ (Р_а ~ Рь> соответствующей моменту появления пластических деформаций, от параметров упругой неоднородности для толстостенного шара и для бесконечного массива со сферической полостью. Можно заметить, что влияние параметра m_F неоднозначно. При значениях k_E, близких к нулю,.

Рис. 7.10. Качественное представление условия появления пластических деформаций:

сплошные линии — хРа_т(г); пунктирные линии — а₀ — а,.

Рис. 7.11. Зависимость р_т от параметров упругой неоднородности:

а — в толстостенном шаре; б — в бесконечном массиве со сферической полостью; точки ° — k_E= k'_E (формула (7.38)).

увеличение тп_Е может привести к уменьшению р_т, а при более высоких значениях k_E — наоборот. Кроме того, в области малых значений k_E увеличение этого параметра ведет к незначительному увеличению р_г Также очевидно, что при k_E < 1 давление, при котором возникают пластические деформации, может быть существенно выше, чем в однородном случае (при k_E > 1 наблюдается обратная картина).

На рис. 7.12 показаны графики, определяющие изменение размеров пластической зоны в цилиндре и шаре от нагрузки при k_c = 1; тп_Е = 2; k₂ = a/b = 0,5 и нескольких значениях k_E. Па примере кривой 3 для полого шара показан способ определения границ пластической зоны (радиусов г, и г₂) при известной нагрузке.

В упруго-пластических задачах значительный интерес представляют перемещения. На рис. 7.13 приведены зависимости от разности давлений р = р_а — р_ь безразмерного перемещения точек внутреннего контура толстостенного цилиндра при k₂ = 0,5; k_c= 1; m_E = 2 для различных значений к# определяющих степень упругой неоднородности материала.

С ростом разности давлений все графики сливаются, а вертикальная асимптота соответствует полному переходу цилиндра в пластическое состояние.

Рис. 7.12. Зависимость размеров пластической зоны от нагрузки в шаре (1—3) и в цилиндре (4):

• 1 — /L = 0,5; 2,4 — k, = 0,3;
• 3 — k_E = 0,1

Рис. 7.13. Зависимость перемещений внутреннего контура цилиндра от давления:

• -k_F = 0,5; 2 — k_e = 0,3;
• 3 —**-0,1

В заключение данного параграфа следует обратить внимание на то, что решение упруго-пластических задач для упруго и пластически неоднородных тел, а точнее — анализ возникновения пластических деформаций в таких телах, в значительной степени аналогично решению задач прочности. Поскольку критерии пластичности Треска — Сен-Венана и Губера — Мизсса эквивалентны двум распространенным теориям прочности — соответственно теории максимальных касательных напряжений и энергетической теории, то определение места возникновения первых пластических деформаций и соответствующих нагрузок позволяет решать задачу прочности при переменных значениях предельных напряжений.