Π‘ΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ²
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π» — ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΡΡ — ΠΎΡΡΡ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΎΡΡΡ — ΠΎΡΡΡ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ (ΡΠΈΡ. 2.4). ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ (ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ) Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ ΡΠΎ0. ΠΠ»ΠΈΠ½Π° ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°, ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈ ΠΎΡΡΡ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡ — Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ Ρ (?). ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
Π‘ΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
Π¨ΠΈΡΠΎΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΡΠ»ΠΈ Π΄Π²Π° ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ²: ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠ° Π΄ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ (ΠΎΡ Π°Π½Π³Π», duality — Π΄Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ; Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΄Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅Π½Π½Ρ ΡΠΎΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ R ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ Y: R = 1 /Π£) ΡΠ°ΡΡΠΎΡΡ ΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ f = l/t.
ΠΡΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π΅ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΡΠΈΠ³Π½Π°Π» ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠΎΠ², ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ Π΄ΡΡΠ³ Π·Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ΠΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΡ, ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΈ Π΄Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ. Π‘ΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Ρ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²Π·Π²Π΅ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΡ Π³Π°ΡΠΌΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΡ , Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ Ρ ΡΠ°ΡΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π΄ΡΡΠ³ Π΄ΡΡΠ³Ρ (ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ΅ΡΡΠΈΡ).
ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ². ΠΡΠΈ ΡΡΠ΄Π΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ u (t), ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π» Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ (ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ) Π—Π, ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅
Π³Π΄Π΅ j/(co, t) — Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ (ΡΠ΄ΡΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ). ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΈ Π΄Π°Π»Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ Π²Π²Π΅ΡΡ Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ΅Π΄ΠΈ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ j (j = Π-[).
ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ ΠΎΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΎΡΡ.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, Π²ΠΎΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²Π»ΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π» u (t) ΠΏΠΎ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ 5(ΡΠΎ), Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ:
Π³Π΄Π΅ Ρ (?, ΡΠΎ) — Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½Π°Ρ (basis) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ.
ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ (2.2) ΠΈ (2.3) ΡΡΡΠ°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠΌ u (t) ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠΎΠΌ 5(ΡΠΎ).
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ². Π§Π°ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² (Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ ΡΠ·ΠΊΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΡΠ½ΡΡ ) Π±ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
Π³Π΄Π΅ u (t)l ΡΡ (?) — ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΈ ΡΠ°Π·Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ u (t).
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ii (t) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅.
Π³Π΄Π΅ Re, Im — Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ» (2.4) ΠΈ (2.5) ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ.
ΠΠΎ ΡΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π» ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌ, Ρ. Π΅. ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΈΠ· Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ. Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΈΠ½ΡΠ°Π·Π½ΡΡ (ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡΡΡ, Π½ΠΎ ΡΠ°Π·Π΅ Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠΌ) ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡΡΠ½ΡΡ (ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠ°Π·Π΅ ΠΎΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° Π½Π° 90Β°) ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ². ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ — ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ° ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ, Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ — ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² ΡΡΠ°Π½Π΅Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ — ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ (Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»ΡΠΌ ΡΡΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»; ΡΠ³Π»Ρ ΠΆΠ΅, ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ). ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈΠ· ΠΎΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ Π½Π°ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅, Π·Π°ΡΡΡ Π°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΡ — Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π»ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΅ΠΉ.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π» — ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΡΡ — ΠΎΡΡΡ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΎΡΡΡ — ΠΎΡΡΡ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ (ΡΠΈΡ. 2.4). ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ (ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ) Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ ΡΠΎ0. ΠΠ»ΠΈΠ½Π° ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°, ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈ ΠΎΡΡΡ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡ — Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ Ρ (?). ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΎΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ;
Puc. 2.4. ΠΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° Π΄ΠΈΠΏΠ°Ρ ΡΠ°Π²Π½Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΡΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°.
ΠΠ° Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Π½ΠΎ-ΡΠ°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ-Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ΅ (Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ — Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Π°, Π° Π½Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ — ΡΠ°Π·Π°) ΡΠΈΠ³Π½Π°Π» ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»ΡΡΠΈΠΈ Π² ΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΌΠ°Ρ .
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² Π±Π°Π·ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ — ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ, ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄Ρ ΡΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ, ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ·Π΄Π°ΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ². Π Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ U Π² /2-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ uv ΠΈ2, ΠΈΠΏ. ΠΡΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Ρ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² ΡΡΠ°Π²ΡΡ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ L.
Π‘ΠΈΠ³Π½Π°Π»Ρ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Ρ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°ΠΌΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡΠΌΠΈ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° ΠΏ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ ΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ L. ΠΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ L Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π° Π½ΠΎΡΠΌΠ°, Ρ. Π΅. ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°. ΠΠ»Ρ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ², ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΡΡ Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ t{ — t2 (ΡΠ°ΡΡΠΎ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π» ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ 0 — Π’)> Π½ΠΎΡΠΌΠ° ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
Π³Π΄Π΅ u*(t) — ΡΠΈΠ³Π½Π°Π», ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ-ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Ρ u (t).
ΠΠΎΡΠΌΠ° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΡΠ°ΠΊΡΠΎΠ²ΠΊΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΌΡ ΡΠΌΡΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°.
ΠΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΡΡΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ΠΌ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠ°. ΠΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠΈ — ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ d (uy v) ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ (Π·Π΄Π΅ΡΡ — ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°ΠΌΠΈ), Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ u (t) ΠΈ v (t).
ΠΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠ° — Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎ ΠΎΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π° Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΡΡΠ΄Ρ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ (Π΄Π»Ρ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ). ΠΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠ° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΠΎΡΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² u (t) ΠΈ v (t). Π ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Ρ ΡΡΠΈΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°:
ΠΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Ρ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠΎΠΉ (2.6) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΏ-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎΠΌ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² — ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠΎ ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠΆΠ΅ ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Ρ.
ΠΡΠΎΠΌΠ΅ Π½ΠΎΡΠΌΡ ΠΈ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠΈ Π²Π²ΠΎΠ΄ΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ²
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² (ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ) ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΡΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²:
- β’ (Π©, ΠΈ") > 0;
- β’ (ΠΈ, v) = (v, ΠΈ);
- β’ (Π° ΠΈ, v) = Π° (ΠΈ, v), Π³Π΄Π΅, Π° — Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ;
- β’ (ΠΈ + v, s) = (ΠΈ, s) + (v, s).
ΠΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ (ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ) ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠΎΠΉ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ Π³ΠΈΠ»ΡΠ±Π΅ΡΡΠΎΠ²ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎΠΌ Π (ΠΏΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΈΠ»ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΌΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΠ°Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΠΈΠ»ΡΠ±Π΅ΡΡΠ° — David Hilbert).
ΠΡΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ Π³ΠΈΠ»ΡΠ±Π΅ΡΡΠΎΠ²ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ, Π²Π²Π΅Π΄Ρ Π² Π½Π΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠΎ {ΠΈ, v) = (ΠΈ, ?>)*.
ΠΠ»Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ ΡΡΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΠΎΡΠΈ — ΠΡΠ½ΡΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ — Π¨Π²Π°ΡΡΠ°
Π‘ΠΈΠ³Π½Π°Π», ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠΉ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.
Π΅ΡΡΡ «-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° (ΡΠΈΡ. 2.5).
ΠΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½Π°Ρ (Ρ.Π΅. ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΈ Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½Π°Ρ ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅) ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ (v-(?)} ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π² «-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ (ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π³ΠΈΠ»ΡΠ±Π΅ΡΡΠΎΠ²Π°). Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ v,(?) ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ {ΠΎΡΡΡ), ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΏ — ΠΏΡΠΎ;
Π ΠΈΡ. 2.5. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° Π΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° ΠΈ (!) Π½Π° ΠΎΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° — ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ (() ΠΈ v,(!)'?
ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡΠΌΠΈ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π΄Π²Π° ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π° Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² (ΡΠΈΡ. 2.6). Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ ΡΡΡΠΏΠ΅Π½ΡΠ°ΡΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π (ΡΠΈΡ. 2.6, Π°). ΠΡΡΠΎΡΠ° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΏΠ΅Π½ΡΠΊΠΈ (ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠ°) ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° ΠΏΠ° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ Π. ΠΡΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°ΠΌΠΈ ΡΠ»ΡΠΆΠ°Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΡ Π΄Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π. ΠΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΡΠΊΠ°ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ ΠΊ Π΄ΡΡΠ³Ρ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΡ Π² ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΡ Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ Π½Π΅Π΅ (ΡΠΈΡ. 2.6, Π±).
Π ΠΈΡ. 2.6. Π‘ΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² (ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ ):
Π° — ΡΡΡΠΏΠ΅Π½ΡΠ°ΡΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ; Π± — ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠ°ΠΌΠΈ.