Спектры некоторых неинтегрируемых сигналов

При введении понятия преобразования Фурье были указаны возможности его применимости: выполнение условий Дирихле и абсолютная интегрируемость (сходимость) сигнала (2.31). Ряд широко применяемых в теории связи сигналов не удовлетворяют этим условиям, поэтому их прямое преобразование Фурье осуществить невозможно. Вместе с тем, используя свойства обобщенных функций, можно применить преобразование Фурье и к таким сигналам, получив при этом вполне осмысленный и практически полезный результат.

В математике известны и широко используются три специфические функции: дельта-функция, гармонический сигнал и функция единичного скачка. Некоторые свойства этих функций позволяют устранить отмеченное препятствие. Правда, при этом оказывается, что соответствующие спектральные плотности будут уже не обычными, классическими, а обобщенными функциями.

Дельта-функция и ее спектр. Рассмотрим теоретическую модель бесконечно короткого импульса с бесконечно большой амплитудой (ее изображают жирной стрелкой, рис. 2.19, а), аналитически определяемого как.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 2.19. Дельта-функция:

а — графическое представление; 6 — дельта-функция в виде прямоугольного импульса;

в — спектральная плотность Площадь такого импульса всегда равна единице:

Функцию 8(?) называют дельта-функцией, единичным импульсом, функцией Дирака (delta-function, Dirac function; предложена П. Дираком^[1]).

Так как интеграл от дельта-функции (2.41) дает безразмерную единицу, размерность дельта-функции обратна размерности аргумента. Например, дельта-функция времени имеет размерность 1/с, т. е. размерность циклической частоты — герц (Гц).

При сдвиге дельта-функции по оси времени на некоторый интервал t_Q (см. рис. 2.19, а) определения (2.40) и (2.41) можно записать в более общей форме:

Разумеется, сигнал в виде дельта-функции невозможно реализовать физически. Однако теоретически дельта-функцию можно рассматривать как предел, к которому стремится прямоугольный импульс длительностью т_и и амплитудой 1/т_и при т_и —* 0 (рис. 2.19, б).

Дельта-функция обладает важнейшим свойством, благодаря которому она получила широкое применение в математике, теории связи и т. д. Пусть имеется непрерывная функция (аналоговый сигнал) времени f (t). Тогда согласно формулам (2.42) и (2.43) справедливо следующее соотношение:

Соотношение (2.44) становится понятным, если учесть, что, но определению функция 8(? — t₀) будет равна нулю на всей оси времени, кроме точки t = t₀. Это позволяет сделать интервал интегрирования бесконечно малым, включающим в себя точку t₀. В этом интервале функция f (t) принимает единственное постоянное значение f (t₀) в точке t = t₀, которое можно вынести за знак интеграла. Соотношение (2.44) характеризует фильтрующее (iвыделяющее, или стробирующее, от слова «строб» — короткий прямоугольный импульс, применяемый в радиолокации для выделения сегментов колебаний) свойство дельта-функции.

Спектральную плотность дельта-функции 8(? — t₀) найдем с помощью формулы (2.29):

Используя фильтрующее свойство дельта-функции (2.44), получим.

Из формулы (2.45) следует, что при t₍₎ = 0 спектральная плотность дельта-функции 5(со) = 1.

Итак, теоретически дельта-функция имеет равномерный (сплошной и бесконечный) спектр с единичной амплитудой на всех частотах (рис. 2.19, в).

В момент возникновения дельта-функции (при t = 0) все элементарные гармонические составляющие ее спектра в бесконечной полосе частот складываются когерентно (синфазно), поскольку в соответствии с формулой (2.45) спектральная плотность дельта-функции вещественна. Поэтому в момент времени t = 0 наблюдают бесконечно большую амплитуду импульса дельта-функции.

Следует обязательно иметь в виду, что правая часть равенства (2.45) является размерной единицей — это единичная площадь импульса. Если дельта-функция представляет собой импульс напряжения, то размерность спектральной плотности 5(со) — вольт секунда (В с).

Дельта-функцию можно представить в виде обратного преобразования Фурье (2.30) от ее спектральной плотности З’Дсо) = 8(со) = 1:

Учитывая условие дуальности частоты со и времени t, последнее выражение можно записать следующим образом:

Перемена знака в показателе степени экспоненты в этом случае не влияет на значение интеграла (вследствие взаимозаменяемости частоты и времени).

Гармонический сигнал и его спектр. Найдем спектральную плотность гармонического (косинусоидального) сигнала единичной амплитуды u (t) = = cos со₀t.

Подставив в прямое преобразование Фурье (2.29) заданный сигнал и воспользовавшись уже упоминавшейся формулой Эйлера (2.18), находим.

На основании формулы (2.46) последнее соотношение можно записать как.

Итак, гармоническому сигналу с единичной амплитудой и частотой со₍₎ соответствует дискретный спектр, состоящий из двух линий бесконечно большой амплитуды в виде дельта-функций (с множителями л), расположенных симметрично относительно нуля на частотахсо₍₎ и со₍₎ (рис. 2.20).

Рис. 2.20. Спектр гармонического сигнала

По аналогии со спектральной плотностью косинусоидального сигнала можно показать, что синусоидальному сигналу u (t) = sin со/ отвечает очень похожая спектральная плотность.

*.

Знак «минус» в формуле (2.48) для спектральной плотности появляется вследствие нечетности функции синусоидального сигнала относительно оси ординат.

Экспоненциальный импульс и его спектр. Экспоненциальный импульс принято относить к сигналам с «полубесконечной» длительностью (рис. 2.21).

Рис. 2.21. Экспоненциальный импульс:

а — графическое представление; 6 — спектральная плотность; в — фазовый спектр При единичной амплитуде экспоненциального импульса (рис. 2.21, а) имеем.

где, а > 0 — вещественный параметр.

Прямым вычислением по формулам (2.29) и (2.49) находим.

Подстановка пределов интегрирования в формулу (2.49) дает (рис. 2.21,6).

Можно показать, что фазовый спектр рассмотренного экспоненциального импульса (рис. 2.21, в) описывается выражением ф (со) = -arctg (co/a).

Единичная функция и ее спектр. Рассмотрим еще один элементарный электрический сигнал (рис. 2.22), используемый для анализа электрических цепей и описываемый обобщенной функцией. Упрощенное выражение единичной функции (рис. 2.22, а) принято записывать следующим образом:

Рис. 2.22. Единичная функция:

а — графическое представление; 6 — спектральная плотность Функцию o (t) называют единичной функцией, функцией включения или функцией Хевисайда. Единичную функцию используют при создании моделей сигналов конечной длительности. Пример — формирование прямоугольного импульса. Сравнив формулы (2.49) и (2.50), замечаем, что функцию включения получают путем предельного перехода из экспоненциального импульса при a —? 0:

Спектральную плотность функции включения определим, выполнив предельный переход в спектральной плотности экспоненциального импульса:

При a = 0 первое слагаемое в правой части этой формулы равно нулю на всех частотах, кроме со = 0, где оно обращается в бесконечность. Площадь же иод кривой функции а/(сг + со²) равна постоянной величине:

независимо от значения а.

При, а —* 0 предел первого слагаемого есть функция лб (со), второго — 1 /(/со). Значит, спектральная плотность единичной функции (рис. 2.22, б) равна

Постоянный сигнал и его спектр. Простейшим неинтегрируемым сигналом является постоянное напряжение (рис. 2.23). Спектральную плотность постоянного напряжения единичной амплитуды (рис. 2.23, а) можно легко определить, приравняв к нулю в формуле (2.47) для спектральной плотности косинусоидального сигнала частоту со₀. В результате получим.

Рис. 2.23. Постоянный сигнал:

а — графическое представление; б — спектральная плотность Физический смысл формулы (2.51) прост — постоянный во времени сигнал имеет единственную спектральную составляющую (в виде дельта-функции с коэффициентом 2л), расположенную на нулевой частоте (рис. 2.23, б).

Особенности преобразований Фурье. Это преобразование неприменимо к ряду сложных сигналов, содержащих множество конечных скачков на ограниченном интервале времени. Однако ряд Фурье всегда сходится, если сигнал представляет результат реального измерения. Если исходная функция задает значение для каждого действительного числа, ее можно разложить на гармоники всех возможных частот; эти функции объединяют посредством записи и вычисления интеграла Фурье. Независимо от способа реализации преобразования Фурье для каждой составляющей необходимо указать два параметра: это могут быть амплитуда и частота, однако эту роль могут играть и другие пары параметров. Их значения можно выразить в виде одного комплексного числа.

В последние годы использование преобразования Фурье часто сводится к поиску эффективных способов перехода от сигналов к их спектру и обратно.

• [1] Поль Дирак (Р. Dirac, 1902—1984) — английский физик-теоретик, один из создателейквантовой механики.