Численный анализ СДУ с пуассоновской составляющей

Очевидно, что СДУ с пуассоновской составляющей можно рассматривать как систему со случайной структурой с двумя одинаковыми структурами, когда интенсивности переходов одинаковы и равны.

а случайная величина скачка в распределена согласно плотности.

Пример 1. Задача Коши для однородного СДУ в смысле Стратоновича.

где а > 0, <�т Ф 0 — вещественные параметры, с.(0) — некоторая функция. Математическое ожидание и дисперсия точного решения (1.71) равны соответственно:

где

Если а > 0 и b < 2а, то Еy{t) —? 0, T)y (t) —" 0 при t —> оо.

Задача Коши (1.71) решалась при следующих значениях параметров: а = 1.95, а'² = 0.1, с (в) = 0.30, у о = 1. В качестве Г рассматривалось одноточечное множество {1}. В этом случае пуассоновская мера вырождается в процесс Пуассона. Параметр процесса Пуассона П (Г) задавался равным трем.

На рис. 1.26 приведены графики математических ожиданий, а на рис. 1.27 — графики дисперсий точного и численного решений.

Пример 2. Задача Коши для линейной системы СДУ с постоянными коэффициентами: где у — n-мерный случайный процесс, с — n-мерная вектор-функция, А — матрица размера п х п, а — матрица размера п х т, П — характеристическая мера пуассоновской меры v. Фактически в этом примере рассматривается центрированная пуассоновская мера i>(d9 х dr) — v{d9 х dr) — Yl (d9)dr, для которой Ей = 0. Математическое ожидание и корреляционная функция точного решения СДУ (1−72) определяется выражениями.

Рис. 1.26. Графики математического ожидания точного и численного решений примера 3.

Если все собственные значения матрицы, А имеют отрицательные вещественные части, то Еy (t) —> 0, D (/:) —> D при t —> ос, где D — решение матричного уравнения:

Рис. 1.27. Графики дисперсий точного и численного решений примера 3.

Задача Коши решалась при следующих значениях параметров:

• ?/о — двумерный вектор независимых нормальных случайных величин с единичным математическим ожиданием и корреляционной матрицей
• (|. Величина скачка с (в) принимала значения с (?_п), где ?_п — О 1/16/

дискретная случайная величина с Р (? = 1) = 4/9, Р (? = — 1) = 5/9.

На рис. 1.28 приведены графики корреляционной функции точного решения и оценки корреляционной функции, полученной при численном решении. Как показали расчеты, во всех примерах получены достаточно точные оценки различных характеристик решения.

Рис. 1.28. Графики корреляционной функции точного решения и ее оценка при численном решении.