Системы с распределенными переходами. 
Сравнение со спектральным методом

Системы со случайной структурой являются математическими моделями мультирежимных стохастических систем автоматического управления, для которых характерно в случайные моменты времени скачкообразное изменение отдельных параметров или структуры, т. е. совокупности функциональных элементов и связей между ними.

Аналитическое решение для таких систем можно найти лишь в исключительных случаях. Поэтому рассмотренные ниже примеры будут просчитаны построенным статистическим алгоритмом и спектральным методом и будет проведено сравнение полученных результатов.

Метод статистического моделирования основан на непосредственном моделировании системы управления при воздействии случайных возмущений с последующей статистической обработкой результатов. В основе спектрального метода [126] лежит переход к детерминированной задаче (к решению обобщенных уравнений Фоккера Планка Колмогорова) с последующей параметризацией плотности вероятности вектора состояния системы. Оба метода позволяют оценивать любые вероятностные характеристики выходных процессов, в том числе и плотность вероятности.

Применение методов статистического моделирования и спектрального метода при анализе систем с распределенными переходами имеет ряд преимуществ по сравнению с другими приближенными методами [96,141], например, методами функциональной аппроксимации (метод ортогонального разложения, метод полигауссовой аппроксимации), позволяющими перейти от обобщенных уравнений Фоккера — Планка — Колмогорова к системе обыкновенных дифференциальных уравнений достаточно большой размерности для коэффициентов некоторого функционального ряда, аппроксимирующего плотность вероятности или характеристическую функцию. Другие подходы, а именно методы гауссовой и двухмоментной параметрической аппроксимации, требуют задания структуры априори неизвестной плотности вероятности.

Получить аналитическое решение задачи анализа в рассматриваемых ниже модельных примерах затруднительно. Однако для вероятностей Р0)(?)_? а в линейном случае и для моментов вектора состояния, можно найти аналитическое выражение. Поэтому сравнение методов будет проводиться, но точности оценки этих вероятностных характеристик.

Будем использовать два критерия для сравнения аналитического решения /х_т(?) и соответствующего приближенного решения /х_п(?):

где в качестве функции (i (t) могут выступать вероятности Р0)(?) или моментные характеристики координат вектора состояния (заметим, что для метода статистического моделирования функция д_п(0 определена только в узлах сетки).

Наряду с оценкой точности нахождения вероятностных характеристик будем приводить время, затрачиваемое на решение задачи (для расчетов использовался ПК с процессором Intel Celeron 2 ГГц и 256 МБ оперативной памяти).

Пример 1. Задача анализа релейной следящей системы управления [67], описываемой уравнением.

где t € [0,2]; y (t) характеризует точность системы; уо случайная величина, имеющая гауссовское распределение с параметрами то = 0.5 и Do = 0.5; w (t) одномерный стандартный винеровский процесс, не зависящий от уо {п = т = 1).

Система может работать в двух режимах: при к = 1 имеем нормальный режим, при к = —1 — срыв слежения. В начальный момент времени система находится в режиме срыва слежения. Процесс перехода в нормальный режим работы и в режим срыва слежения определяется интенсивностями 1/21 (t, y) = 0.6ехр (—2t) и vi2(t, y) = 1 — ехр (—t) соответственно. Следовательно, рассматриваемая система относится к классу систем с распределенными переходами, при этом.

где 1 = 1 и I = 2 соответствуют режимам нормального функционирования и срыва слежения, т. е. s (t) является дискретным марковским процессом с двумя состояниями (5 = 2), а ненормированные плотности распределения начального состояния уо имеют вид.

Требуется найти вероятности Р^(?) работы системы в режимах нормального функционирования и срыва слежения, ненормированные плотности распределения (?,?/), а также математическое ожидание m (t) и дисперсию D (t) состояния системы; / = 1,2.

Рис. 2.9. Сечения ненормированных плотностей распределения p*^^l, y) и у) в момент времени t = 0.5 (для первой структуры — (1), для второй структуры — (2)).

Рис. 2.10. Сечения ненормированных плотностей распределения у).

и p*^² , y) в момент времени t = 2 (для первой структуры — (1), для второй структуры — (2)).

Результаты расчетов представлены на рис. 2.9 и 2.11 (тонкой линией показаны характеристики, полученные методом статистического моделирования, а толстой линией — характеристики, полученные спектральным методом).

При решении задачи методом статистического моделирования использовался метод Эйлера с шагом h = 0.01; число моделируемых траекторий N = 10°; для построения гистограммы область изменения вектора состояния [—5,5] равномерно разбивалась па 100 частей. Для получения искомых характеристик спектральным методом в качестве базисной системы {<7г₀(?)}^=о выбраны полиномы Лежандра (порядок усечения Lq = 16), а в качестве базисной системы {x"i…"_п(у)}<… *"=о^ «функции Эрмита с параметрами т = 0 и D = 1/3 [132] (порядок усечения Ь = 32).

Рис. 2.11. Математическое ожидание m (t) и дисперсия D (t) состояния системы Таблица 2.1. Погрешность метода статистического моделирования при различном объеме выборки.

Погрешности вычисления вероятностей P^² ) приведены в табл. 2.1 и 2.2 (через дробь даны значения для критериев J и ./2 соответственно, t_C4 - время счета). При других базисных системах погрешности спектрального метода приведены в табл. 2.3.

Пример 2. Упрощенная математическая модель стабилизации малого искусственного спутника, находящегося под действием гравитационного и управляющего моментов имеет вид [84,133]:

Таблица 2.2. Погрешность спектрального метода при различных усечениях спектральных характеристик ({ф₀($)}<�о=о ~ полиномы Лежандра, {Хй…г"(у)}?^…, 1_П=о^<Э ^- функции Эрмита с параметрами т = 0 и D = 1/3).

Таблица 2.3. Погрешность спектрального метода при различных усечениях спектральных характеристик ({ф₀(0}<�о=о ^- косинусоиды,.

{х<1—*"(у)}?ь…,*п=о0 функции Эрмита с параметрами т = 0 и D = 1).

В модели (2.6) переменная у (t) угол отклонения оси спутника по отношению к радиус-вектору центра масс, У2 (t) - угловая скорость вращения спутника вокруг центра масс; t Е [0,1]; ую и У20 являются независимыми случайными величинами, имеющими гауссовское распределение с параметрами тю = —0.3, Do = 1 и rri2o = 0.1, D20 = 1 соответственно (п = 2, га = 1, y (t) = [yi (t), y2{t)]^T) — В предыдущем параграфе 2.2 эта задача была рассмотрена при <�т = 0. Сейчас мы рассмотрим ее при наличии случайных возмущений а = 0.1.

Управляющее воздействие u (t) задается соотношением (2.5) ив среднем обеспечивает стабилизацию спутника в момент времени t = 1, т. е. математические ожидания величии уг (1) и у2 (1) равны нулю.

Рассмотрим ситуацию, когда в случайный момент времени возможен отказ управляющего устройства (срыв стабилизации) с последующим восстановлением режима нормального функционирования. Интенсивности отказа и восстановления задаются функциями у. у2) = 0.2.

и 1У'21 (t, у 1,2/2) = 0.1 соответственно. В начальный момент времени система функционирует нормально. Таким образом, данную систему управления можно рассматривать как систему со случайной структурой, описываемую уравнениями.

где 1 = 1 соответствует режиму нормального функционирования, а 1 = 2- режиму срыва стабилизации, т. е. s (t) представляет собой дискретный однородный марковский процесс с двумя состояниями (5 = 2), а начальное состояние уо = [?ую, 2/го]^т характеризуется ненормированными плотностями распределения.

Требуется найти вероятности Р^(?) работы системы в режимах нормального функционирования и срыва стабилизации, маргинальные плотности вероятности р, ((, у,) и математические ожидания гп, (t) координат вектора состояния; I = 1,2;? = 1,2.

При решении задачи методом статистического моделирования использовался обобщенный метод типа Розенброка (2) из параграфа 1.1 с шагом h = 0.001; N = 10^е; для построения гистограммы область изменения координат вектора состояния [—4,4] равномерно разбивалась на 100 частей. Для получения искомых характеристик спектральным методом в качестве базисной системы {q_{l ()} (У) }j^_₀ выбраны полиномы Лежандра (порядок усечения Lo = 8), а в качестве базисных систем {Хц…г"(у)}~.д"=о*1, {Xn…i"(y)}~…, i"=o*² — функции Эрмита с параметрами то = 0 и D = 1 (порядки усечения L = L2 = 12), т. е. Хгд₂(у) = ХцЫх?^); *ъ*2 = 0,1,2,…

Метод двухмоментной параметрической аппроксимации [96] позволяет для данной задачи найти аналитическое решение для вероятностей Р^(?) и моментов т_г{1). Погрешность метода статистического моделирования приведена в табл. 2.4−2.5, а спектрального метода — в табл. 2.6−2.7. Обозначения такие же, как и в табл. 2.1−2.3.

Таблица 2.4. Погрешность вычисления вероятностей состояния методом статистического моделирования при различных шаге и объеме выборки.

Таблица 2.5. Погрешность вычисления математического ожидания методом статистического моделирования при различных шаге и объеме выборки.

При решении методом статистического моделирования оценки функционалов от решения и гистограммы вычислялись одновременно. Оптимальными параметрами для получения наилучшей оценки гистограммы при объеме выборки N = 10^е являются h = 10^—2, п_д = 10². Дальнейшее уменьшение шага гистограммы или шага численного метода точность вычисления гистограммы не увеличивает. Дополнительные расчеты проводились при h = 10^-2 и п_д = 500, а также при h = 10^-3 и Пд = 500. Погрешность гистограммы не уменьшается, хотя время вычислений увеличилось (при h = 10^_3 в 10 раз), что подтверждает полученные результаты.

Таблица 2.6. Погрешность вычисления вероятностей состояния спектральным методом при различных усечениях спектральных характеристик.

Таблица 2.7. Погрешность вычисления математического ожидания спектральным методом при различных усечениях спектральных характеристик.

При h = 10^_3 для вычисления функционалов от решения условно оптимальным является N = 10⁶. Погрешности вычисления математических ожиданий функционалов от решения, согласно формуле (4.34) из пособия [31], равны 7 = 0(h). Приводимые в таблицах результаты численных экспериментов подтверждают полученные результаты и даже демонстрируют более высокую точность вычисления известных вероятностных характеристик решения тестовых примеров.

Алгоритмы нахождения вероятностей Р^(?). маргинальных плотностей вероятности и моментных характеристик вектора состояния спектральным методом, а также алгоритмы вычисления спектральных характеристик операторов дифференцирования и умножения относительно различных базисных систем приведены в [126].

В основе спектрального метода лежит представление плотностей вероятности в виде обобщенных рядов Фурье, поэтому погрешность J2, как правило, существенно меньше погрешности J. так как решение ищется в классе функций из L2([to, T] ^х Л^п) и, вообще говоря, не предполагает дальнейшего поточечного сравнения. Для метода статистического моделирования погрешности J и J2 почти не отличаются.

Решение задачи анализа, полученное спектральным методом, представляет собой функции непрерывных аргументов t и у, но при этом такое решение может не удовлетворять условию нормировки (формула (4.5) из пособия [31]) в отличие от решения, полученного методом статистического моделирования. Это в первую очередь отражается на точности вычисления моментов вектора состояния (особенно моментов высокого порядка) при небольших порядках усечения спектральных характеристик. Поэтому так же, как в параграфе 2.2, оценки математического ожидания m (t). полученные обоими методами, полностью совпали, но оценка дисперсии D (t), полученная спектральным методом, несколько отличается от оценки, полученной методом статистического моделирования (которая фактически совпадает с точной).

При сравнимых погрешностях время счета спектрального метода существенно больше, чем у метода статистического моделирования.

Значение результатов состоит в том, что оценки метода статистического моделирования являются асимптотически (по h —> 0) несмещенными, этим самым и обеспечивая контроль спектрального метода.