Методика формирования геометрических понятий

Рассмотрим особенности методики формирования геометрических понятий (нс только на первых уроках геометрии).

Г. Фройденталь писал: «В школе математика должна рассматриваться не как завершенная наука, а как вид деятельности» («Математика как педагогическая задача: Пособие для учителей. — М., 1982. — Ч. 1). Это значит, что в процессе обучения математике учитель должен использовать в разных ситуациях (при формировании математических понятий, обучении решению задач, доказательству теорем) деятельностный подход, сущность которого заключается в деятельностной природе знаний. (Более подробно он изучается в разделах общей методики математики.).

Рассмотрим реализацию этого подхода при формировании геометрических понятий в основной школе.

Понятия, изучаемые в школьном курсе геометрии, составляют 2 группы: неопределяемые и определяемые. Большинство понятий, представленных в курсе геометрии, определяются по способу «через ближайший род и видовые отличия». Причем в разных учебниках геометрии используются иногда различные определения одних и тех же понятий. Например, параллелограмм в разных пособиях трактуется как:

• а) четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны;
• б) пересечение двух полос с непараллельными краями;
• в) четырёхугольник, имеющий центр симметрии и т. д.

Все эти определения неравноценны в том смысле, что они обладают разной степенью наглядности. Учитывая важность образного компонента в процессе формирования понятия, следует заметить, что в школьном учебнике геометрии желательны такие определения, которые позволяют воображению легко конструировать образы определяемых объектов. С точки зрения этого требования наиболее удачным является традиционное определение параллелограмма, как четырехугольника, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

В целом, формирование геометрических понятий осуществляется по этапам.

/ этап. Начинается процесс формирования понятия, как известно, с мотивации его введения. Сущность этого этапа заключается в возбуждении интереса к изучению понятия. Важным средством мотивации введения геометрических понятий является выполнение упражнений, рассмотрение моделей фигур, в частности, готового рисунка. Приведем примеры.

1. Выполняется упражнение: ААВС — равнобедренный (АВ = ВС), BD- бисссктриса угла В (рис. 53). Доказать, что A ABD = ACBD.

Внимание учащихся обращается на то, что отрезок BD соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Это дает возможность ввести понятие медианы треугольника.

Рис. 53.

• 2. При изучении взаимного расположения прямой и окружности обращается внимание на то, что окружность и прямая могут иметь только одну общую точку. Этот случай мотивирует введение понятия касательной к окружности.
• 3. Понятия треугольника, четырехугольника можно ввести на основе рассмотрения предметов, имеющих такую форму.
• 4. При рассмотрении моделей различных фигур (куба, пирамиды и т. д.), а также окружающих предметов можно ввести понятия параллельных прямых, пересекающихся прямых.

Со многими геометрическими фигурами можно познакомить учащихся в процессе выполнения упражнений на построение этих фигур. Например, равнобедренный треугольник появляется в результате упражнения на построение треугольника по трем сторонам, из которых две равны.

Мотивация введения отдельных понятий предусмотрена и в учебниках геометрии. В учебнике А. В. Погорелова широко используется готовый рисунок, в учебнике Л. С. Атанасяна и др. — практические задания, в учебнике А. Д. Александрова и др. — практические ситуации.

Мотивацией изучения материала может служить необходимость расширения или углубления теории. Например, введение векторов вызывает различные операции с ними. В каждом конкретном случае вопрос о мотивации введения понятия решает учитель, и иногда этот этап может отсутствовать, например, при изучении понятий, мотивация введения которых сложна, либо понятий, с которыми ученики уже знакомы на уровне наглядных представлений, а также понятий, которым отводится второстепенная роль.

И этап. Выделение существенных свойств понятия, составляющих его определение (на них следует акцентировать внимание учащихся). Например, ознакомление с существенными свойствами понятия вертикальных углов может быть осуществлено путем выполнения упражнения:

Постройте произвольный угол, отличный от развернутого. Продолжите его стороны за вершину угла. Охарактеризуйте образовавшиеся пары углов.

В результате построения образуется 4 пары смежных углов, известных уже учащимся, и две пары углов, стороны которых являются дополнительными лучами. Таким образом, выполняя это упражнение, учащиеся закрепляют понятие смежных углов и знакомятся с существенными свойствами вертикальных углов. С помощью упражнений на построение объектов, удовлетворяющих определенным свойствам, можно осуществлять ознакомление учащихся со многими геометрическими понятиями.

В 5- 6 классах выделение существенных свойств понятий можно осуществлять с помощью упражнений на конструирование фигур, выполняя которые учащиеся сами выделяют эти свойства понятия. Например, ознакомление с существенными свойствами биссектрисы угла может быть осуществлено в процессе выполнения упражнений на перегибание листа бумаги так, чтобы его стороны совпали.

III этап. На этом этапе происходит синтез выделенных существенных свойств и формулировка определения понятия.

IV этап — выяснение понимания каждого слова в определении. На этом этапе не следует пока требовать запоминания определения. Важно выявить, понятен ли учащимся смысл каждого слова, используемого в определении. Непонимание смысла отдельных слов затрудняет усвоение логической структуры определения понятия. Понимание материала — важнейшее условие его запоминания.

V этап — усвоение логической структуры определения понятия. Оно достигается с помощью специальных упражнений. Один из типов таких упражнений составляют упражнения на распознавание объектов, принадлежащих понятию (как составляются такие упражнения, вы знакомились в курсе общей методики математики).

При формировании геометрических понятий удобно для упражнений на распознавание объектов, принадлежащих изучаемому понятию, использовать готовые рисунки. Приведем пример.

1. Какие из углов, отмеченных на рис. 54, являются смежными?

Рис. 54.

При распознавании смежных углов следует использовать различные ситуации изображения их на рисунке. Можно в упражнения на распознавание включать требования: изменить условие так, чтобы указанный объект принадлежал понятию. Кроме упражнений на готовых чертежах, следует использовать задания с неопределенным ответом. Например:

2. Являются ли два угла смежными, если у них одна сторона общая.

Однозначный ответ на этот вопрос отсутствует, так как ничего не сказано о двух других сторонах этих углов.

Для усвоения определения понятия, кроме действия распознавания, используется действие отыскания следствий. Для овладения этим действием рекомендуются упражнения на отыскание свойств, которыми обладает объект, принадлежащий понятию. Приведем примеры.

• 3. Четырехугольник KPDF параллелограмм. Какими свойствами обладает он?
• 4. Углы 1 и 2 — смежные. Что из этого следует?

VI этап — запоминание определения.

VII этап — использование понятия в конкретных ситуациях.

VIII этап — установление связей данного понятия с другими понятиями.

На VIIVIII этапах осуществляется знакомство со свойствами и признаками понятия, выяснение места данного понятия в системе других понятий. Здесь же учащиеся овладевают умениями переходить от определения понятия к его различным существенным свойствам и обратно, усваивают связи изучаемого понятия с ранее изученными.

В школьном курсе геометрии есть ряд понятий, вводимых путем описания. Процесс формирования этих понятий состоит из тех же этапов, что и формирование понятий с указанием их определений, за исключением этапов III и IV. Работа по формированию таких понятий требует особого внимания учителя; необходимо выделить свойства понятия, разработать алгоритм их применения, составить упражнения, в которых существенные свойства явились бы предметом действия учащихся.

Итак, процесс формирования геометрических понятий (так же как и других математических понятий) включает 8 этапов. Ведущая роль на каждом из этапов принадлежит упражнениям.

Процесс формирования понятий является динамичным процессом. В зависимости от опыта учащихся, конкретного содержания понятий, внимание к этапам формирования может быть различным.