Оценка точности прямых и косвенных измерений. 
Изучение упругого и неупругого столкновения тел

1. Оценка точности прямых и косвенных измерений

Цель работы — обработать данные прямых и косвенных измерений физических величин.

Теоретические основы лабораторной работы.

В методике данной лабораторной работы использованы теоретические основы оценки погрешности прямых и косвенных измерений, представленные в разделе Обработка результатов измерений в физическом эксперименте. Кроме этого в методике эксперимента используются законы и соотношения теории постоянного тока, что позволяет проводить измерения не только механических, но и электрических физических величин.

В соответствии с законом Ома для однородного (с точки зрения отсутствия сторонних сил) участка цепи, сила тока I, текущего по металлическому проводнику определяется по формуле:

I = U.

Коэффициент пропорциональности в законе Ома = называется электрической проводимостью проводника. Физическая величина R — сопротивление проводника.

Сопротивление однородного цилиндрического проводника R зависит от его формы, размеров, а также свойств материала, из которого он изготовлен:

(1.1).

здесь: U — падение напряжения на проводнике, — длина проводника; S — площадь его поперечного сечения; - удельное сопротивление.

Удельное сопротивление характеризует способность вещества проводить электрический ток и зависит от химической природы вещества и условий, в которых находится проводник.

Из формулы (1) очевидно, что:

Площадь поперечного сечения S рассчитывается по формуле с использованием измеренного значения диаметра d. Сопротивление R = U/ I вычисляется по измеренным значениям напряжения U и тока I в цепи согласно закону Ома.

Таким образом, значение удельного сопротивления можно вычислить по формуле:

Каждую из физических величин, входящих в формулу (1.2) можно измерить непосредственно соответствующими приборами (прямые измерения). Величина удельного сопротивления непосредственно не измеряется, а вычисляется по формуле (косвенные измерения).

Величины, d, U и I измеряются соответствующими приборами с определенной точностью.

Измерения длины и диаметра d проволоки проводится с использованием маркированных шкал линейки, штангенциркуля и микрометра. Погрешность измерения линейкой определяется как половина цены наименьшего деления. Погрешность измерения штангенциркулем и микрометром указана на приборах.

Вероятно, что диаметр не одинаков по всей длине проволоки. Если измерения проводятся штангенциркулем или более грубо линейкой, то почувствовать незначительные изменения диаметра проволоки невозможно, так как погрешность указанных приборов достаточно велика. В этом случае величину d следует воспринимать, как результат однократного измерения со средней величиной и с поправкой d, принятой за точность прибора.

Измеряя диаметр более точным прибором, например микрометром, получим серию результатов. Как величина случайная диаметр варьирует около некоторого среднего значения, которое определяется как среднее арифметическое.

Величина средней абсолютной погрешности прямых измерений диаметра проволоки:

В случае если она меньше точности используемого прибора, то за величину абсолютной ошибки следует принять погрешность прибора.

Измерения величины тока I и напряжения U проводят с помощью электроизмерительных приборов (амперметра и вольтметра).

Приведенная погрешность, измеренная в процентах, определяет класс точности прибора (указан на шкале). Какова же будет средняя абсолютная погрешность косвенного определения удельного сопротивления по результатам прямых измерений величин, входящих в формулу?

Среднее значение удельного сопротивления:

Относительная погрешность косвенного измерения удельного сопротивления:

Средняя абсолютная погрешность косвенного измерения удельного сопротивления:

Погрешности в определении, определенные формулами (1.4) и (1.5), представляют собой верхний предел систематических и случайных ошибок. Но погрешности, рассчитанные на основании указанных правил, могут быть неоправданно завышенными.

Считается, что если погрешности прямых измерений каждой из определяемых величин (в нашем случае I, U, и d) независимы, случайны и подчиняются нормальному закону распределения, то более реалистичной (и меньшей) оценкой окончательной погрешности результата измерения является средняя квадратичная ошибка .

В нашем случае при прямых однократных измерениях I, U и за среднюю квадратичную ошибку принимается погрешность прибора. Результаты прямых многократных измерений диаметра проволоки будут иметь среднюю квадратичную ошибку среднего значения:

При косвенных измерениях средняя квадратичная погрешность измерения вычисляется по формуле:

где частная производная функции (I, U,, d) по каждой из переменных, рассчитанная по средним значениям прямых измерений:

В результате подстановки выражений (1.7) в уравнение (1.8) получим:

Порядок выполнения работы.

• 1) Измерить с помощью штангенциркуля диаметр проволоки d в десяти точках и определить погрешность прямых измерений диаметра штангенциркулем.
• 2) Повторить измерения d с помощью микрометра. Определить погрешность прямых измерений диаметра микрометром. Результаты измерений по пунктам 1 и 2 занести в таблицу 1.1.

Таблица 1.1.

• 3) Включить выбранную электрическую схему.
• 4) Выполнить измерения силы тока I и напряжения U для десяти значений длины (измерения проводить в точках проводника от 0,1 до).
• 5) Определить погрешность электрических приборов по классу точности (формула (1.4)). Результаты измерений по пунктам 4 и 5 занести в таблицу 1.2.

Таблица 1.2.

Обработка результатов измерений.

• 1. По результатам измерений диаметра проволоки рассчитать его среднее значение. Определить среднюю абсолютную d и среднюю квадратичную d погрешности измерения диаметра по формулам (1.3) и (1.7).
• 2. Используя полученные данные для тока и напряжения, вычислить значение сопротивления по формуле:

R = U/ I.

• 3. Вывести формулы и вычислить погрешности косвенного измерения сопротивления R и R. Считать, что I = I и I = U.
• 4. Нанести на координатную плоскость экспериментальные точки, откладывая по оси х величину длины проволоки, а по оси у соответствующее ей сопротивление R. Каждую точку изобразить с указанием погрешностей и R, как пересечение двух отрезков длиной 2 вдоль оси х и 2R вдоль оси у с центрами в измеренных значениях.
• 5. Установить характер функциональной зависимости R = R ()и провести плавную линию, аппроксимирующую экспериментальные данные.
• 6. Определить графически среднее значение удельного сопротивления:

где:

• 7. Вычислить погрешности и результатов косвенного определения удельного сопротивления, используя формулы (1.6) и (1.10) соответственно.
• 8. Результаты измерения удельного сопротивления представить в виде и
• 2. Изучение упругого и неупругого столкновения тел

Цель работы — исследовать упругое и неупругое столкновение двух тел; изучить законы сохранения импульса и энергии; выполнить сравнительную оценку экспериментальных и теоретических данных.

Теоретические основы лабораторной работы.

Удар (столкновение, соударение) — взаимодействие тел, при котором происходит их деформация, то есть изменение их формы или размера. Длительность взаимодействия при этом равна нулю (мгновенное событие). Применяется в качестве модели для описания реальных взаимодействий, длительностью которых можно пренебречь в условиях данной задачи.

Предельные виды: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удар.

Абсолютно упругий — удар, после которого форма и размеры тел восстанавливаются полностью до состояния, предшествующего столкновению. При этом ударе механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические виды энергии.

При таком ударе кинетическая энергия движения соударяющихся тел переходит в потенциальную энергию упругой деформации, а затем потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию. Тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяется законом сохранения полной механической энергии и законом сохранения импульса.

Абсолютно неупругий удар — столкновение двух тел, после которого форма и размеры тел не восстанавливаются. При этом ударе кинетическая энергия полностью или частично превращается во внутреннюю энергию, приводя к повышению температуры тел. После удара столкнувшиеся тела либо движутся вместе с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется только закон сохранения импульса.

Основные характеристики центрального удара двух шаров.

Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс.

Законы сохранения справедливы для замкнутых механических систем (внешние силы отсутствуют) или для незамкнутых, в которых внешние силы, приложенные к телам системы, уравновешивают друг друга. Будем предполагать, что шары образуют замкнутую механическую систему.

Абсолютно неупругий удар В соответствии с законом сохранения импульса:

(2.1).

Вектор скорости:

Величина скорости:

Здесь знак (+) соответствует движению тел в одном направлении, а знак (-) — движению тел навстречу друг другу.

Количество механической энергии перешедшей во внутреннюю энергию (в тепло) равно разности энергий до удара (W10 + W20) и после удара W:

здесь: m1, m2 — массы шаров;, W10, W20- скорости и энергии шаров до удара;, W — скорость и энергия обоих шаров после удара.

Частные случаи.

1. Ударяемое тело (m2) неподвижно (20=0).

Из формулы (2.3) следует:

Из формул (2.4) и (2.5) можно получить следующую зависимость количества тепла QT от отношения масс (m2/m1):

• (2.6)
• 2. Масса ударяемого тела велика по сравнению с налетающим телом, (m2 >>m1).

Из (2.4) следует:

То есть, в этом случае почти вся кинетическая энергия переходит в тепло.

3. Масса ударяемого тела мала по сравнению с налетающим телом, (m2<< m1).

Из формулы (2.5) получаем:

Соответственно из формулы (2.4) получаем, что Q0, то есть, кинетическая энергия движущегося шара переходит в кинетическую энергию системы.

Абсолютно упругий удар.

Используя закон сохранения импульса и закон сохранения энергии можно записать систему уравнений:

(2.9).

Решение системы этих двух уравнений позволяет получить следующие формулы для скоростей шаров после удара:

— скорости шаров после удара.

Частные случаи.

1. Массы шаров одинаковы, (m1=m2).

Из формул (2.11) и (2.12) в этом случае получим:

То есть, шары при соударении обмениваются скоростями.

2. Один из шаров, например, второй неподвижен (20=0).

После удара он будет двигаться со скоростью равной скорости первого шара (и в том же направлении), а первый шар остановится.

3. Удар шара о массивную стенку массой m2, (m2>>m1).

Из формул (2.11) и (2.12) получим:

.

4. Скорость стенки v20 остаётся неизменной (стена неподвижна, 20=0).

Ударившийся о стену шарик отскочит обратно практически с той же скоростью, то есть .

В данной лабораторной работе объектами взаимодействия являются лабораторные тележки.

Порядок выполнения работы и обработка результатов.

I. Исследование упругого столкновения.

Измерения в случае, когда масса второй тележки много больше, чем масса первой тележки (m2 m1 где m1 — масса левой тележки).

• 1. Во внутренние торцы тележек вставьте штекеры с резинкой и пластинкой. Во внешний торец правой тележки вставьте штекер с иглой. В правый край рельса вставьте штекер с иглой и наденьте на иглу пробку. Соедините правую тележку с пробкой. Тем самым правая тележка будет соединена с рельсом, и массу m2 можно считать бесконечно большой.
• 2. Установите правый световой барьер на расстоянии ~ 20 см от правой тележки, (~100 см по шкале).
• 3. Взведите спусковое устройство и подведите к нему вплотную левую тележку (без грузов).
• 4. Включите таймер, повернув переключатель режимов работы так, чтобы работали все четыре дисплея.
• 5. Спустите защелку пускового устройства.

Левая тележка начнет двигаться со скоростью 10, доедет до правой тележки, упруго столкнется с ней и поедет назад.

6. Время пересечения светового барьера при движении вправо (в прямом направлении) покажет третий дисплей таймера (считая слева). Это время t10 соответствует скорости 10.

Время пересечения при обратном движении покажет четвертый дисплей. Это время t1, соответствует скорости 1 после столкновения.

• 7. Повторите пункты 3−7 пять раз, перед каждым измерением обнулите показания таймера.
• 8. Запишите значения t10 и t1 в табл. 1. По этим значениям вычислите 10 и 1 по формулам:

.

Здесь = 0,1 м — длина пластинок, вставленных в тележки.

Таблица 2.1.

9. Сравните 10 и 1 между собой и с теоретическими выводами.

Согласно теории при m2 m1 и когда второе тело (m2) неподвижно (20 = 0) должно быть т. е. тело отскакивает назад без потери скорости.

Измерения при различных значениях массы тележки.

Проведите измерения, меняя массу правой тележки (m2) в следующем порядке:

• 1. Отсоедините правую тележку (m2) от рельса.
• 2. Установите левый световой барьер на расстоянии ~ 25 см (по линейке на рельсе), а правый световой барьер на расстоянии ~ 70 см.
• 3. Взведите пусковое устройство и подвиньте к нему вплотную тележку (m1) без грузов.
• 4. Правую тележку (m2) установите между световыми барьерами, так чтобы пластинка на правой тележке немного не доходила до правого светового барьера.
• 5. Спустите защелку пускового устройства.

Левая тележка начнет двигаться, столкнется с правой тележкой. После столкновения левая тележка остановится (1 = 0), а правая начнет двигаться со скоростью 2.

• 6. Придержите тележку после того как она пройдёт через световой барьер, чтобы не произошло удара о торец рельса.
• 7. Измерьте время (t10) по первому дисплею, оно соответствует скорости левой тележки до удара (10). Измерьте время (t2) по третьему дисплею, оно соответствует скорости правой тележки после столкновения (2) (по теории при m2 = m1 и 1 = 0,).

При дополнительных грузах на правой тележке (m 250 г) левая тележка будет двигаться обратно и пройдет через световой барьер в обратном направлении. Измерьте время этого прохождения t1 по второму дисплею. Это время соответствует движению со скоростью левой тележки после удара (1) (табл. 2.2).

• 8. Повторите измерения 5 раз.
• 9. Повторите п. 2−7 для разных масс m2, устанавливая на правую тележку дополнительные грузы (m = 250 г, 300 г,…400 г).
• 10. Полученные результаты измерений занесите в табл. 2.2.

Таблица 2.2.

Замечание: в таблице приведены ориентировочные значения масс. Точное значение масс определяется взвешиванием тележки.

11. По измеренным данным вычислите импульсы Р10, Р1, Р2 и кинетические энергии тележек (W10, W1, W2). Результаты занесите в таблицу 2.3.

Таблица 2.3.

12. На основе вычисленных значений импульсов и энергий сделайте вывод о выполнении законов сохранения импульса и энергии.

II. Исследование неупругого столкновения.

• 1. Во внутренние торцы тележек вставьте штекеры — в правую с иглой, а в левую с пробкой.
• 2. Установите левый световой барьер на расстоянии ~ 25 см (по линейке на рельсе), а правый световой барьер на расстоянии ~ 70 см.
• 3. Взведите спусковое устройство и подведите к нему вплотную тележку (m1) без грузов.
• 4. Правую тележку (m2, вначале без грузов) установите между световыми барьерами так, чтобы пластинка на правой тележке немного не доходила до правого светового барьера.
• 5. Спустите защелку спускового устройства.
• 6. Левая тележка начнет двигаться, столкнется с правой тележкой. После столкновения тележки будут двигаться вместе с некоторой скоростью v.
• 7. Измерьте время t10 по первому дисплею. Оно соответствует скорости левой тележки до удара (10). Измерьте время t по третьему дисплею. Оно соответствует скорости тележек после удара ().
• 8. Повторите измерения (пп.3 — 7) 3 раза.
• 9. Повторите пп. 3 — 8 для разных масс m2, устанавливая на правую тележку дополнительные грузы 50 г, 100 г, 159 г, 200 г, 250 г.
• 10. Полученные результаты измерений занесите в таблицу 2.4.

Таблица 2.4.

11. По измеренным данным вычислите импульсы Р10, Р, кинетические энергии W10, W и экспериментальное значение количества тепла Qэксп. = W10 -W, выделившееся при ударе. Результаты вычислений занесите в таблицу 2.5.

погрешность соударяющийся упругий Таблица 2.5.

• 12. На основе вычисленных значений импульсов сделайте вывод о выполнении закона сохранения импульса.
• 13. По формуле (2.6) вычислите теоретическое значение количества тепла Qт, выделившееся при ударе, в зависимости от отношения масс m2/m1. Значения m2/m1 берите от 0 до 2 через 0,125. Для W10 возьмите экспериментальное значение.
• 14. Полученные результаты занесите в таблицу 2.6.

Таблица 2.6.

• 15. По вычисленным значениям постройте график зависимости Qт от m2/m1. На этот же график нанесите экспериментальные значения Qэксп.
• 16. Проанализируйте экспериментальные и теоретические данные. Определите, на сколько процентов они отличаются. Убедитесь, что Qэксп близко к теоретическому значению Qт. Кроме того, при увеличении m2/m1, Qт должно увеличиваться (при m2/m1>? Qт стремится к W10).