Лекция XIV МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

• 1. Роль и место тригонометрических функций в школьном курсе математики. Аналитический и геометрический пути их введения.
• 2. Значение тригонометрических функций в школьном курсе математики и различные подходы к их изложению.
• 3. Методика изучения тригонометрических функций на уроках геометрии в 8−9 классах:
  • а) введение понятий синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника;
  • б) определение синуса, косинуса и тангенса любого угла от 0° до 180°.

Роль и место тригонометрических функций в школьном курсе математики. Аналитический и геометрический пути их введения.

Тригонометрические функции являются первыми трансцендентными функциями, изучаемыми в школьном курсе математики. Их роль и место в нем определяются главным образом двумя сторонами применения этих функций в теории и практике. Во-первых, тригонометрические функции дают замечательный вычислительный аппарат для решения разнообразных задач планиметрии и стереометрии. Эта роль тригонометрических функций общеизвестна, и она нередко преувеличивается. Во-вторых, учение о тригонометрических функциях позволяет наглядно, просто и убедительно продемонстрировать важнейшие свойства функций вообще: периодичность, четность и нечетность, ограниченность, монотонность и т. д.

Две стороны в содержании учения о тригонометрических функциях отражаются и в выборе возможных путей введения их в школе.

Первый путь чисто аналитический. Наиболее перспективными для школы здесь являются два варианта. Один из них сводится к анализу дифференциального уравнения f" (x) = -cf (х). Теория и приложения тригонометрических функций могут быть построены именно через решение указанного уравнения, такой подход является сложным и может быть использован пока лишь в старших классах на кружковых занятиях. Второй вариант аналитического введения тригонометрических функций — использование аппарата рядов, в настоящее время такой подход для средней школы представляется нереальным.

Более привычным для школы сегодня является второй путь — геометрический, который существует и совершенствуется уже более ста лет. Имеется большое число разновидностей этого пути. Самый наглядный и простой из них является введение тригонометрических функций путем рассмотрения отношений сторон в прямоугольном треугольнике. Основной недостаток такого определения тригонометрических функций — затруднения, возникающие при переходе к углам, большим прямого, и при переходе к тригонометрическим функциям числового аргумента. Попытки преодоления первой из этих трудностей привели к разнообразным по форме, но единым, по сути, подходам — через так называемые тригонометрические линии в круге, через отношения координат радиус-вектора, через проекции единичного вектора и т. п.

В дальнейшем мы будем рассматривать лишь второй путь, изучение которого начинается в курсе геометрии основной школы.