Установление пространственных отношений

Задание 1. Детям дается сетка (матрица) (рис. 2.1), в которой на пересечениях линий расположены фигуры. Им говорится, что от одной фигуры нужно пройти к другой (от одного домика к другому) и при этом отмечать стрелками каждую пройденную клетку. Число стрелок должно соответствовать числу клеток, а направление стрелок — направлению движения.

Дети должны поставить стрелки сначала в матрице, а затем воспроизвести их между такими же фигурами вне матрицы. На образце показано, как должен выполнить задание ученик, двигаясь от ромба к квадрату (в матрице и затем вне нее). Следующее задание ученик выполняет сам, сначала проставляя стрелки в матрице от? к Д (—>ФФ) и от Д к О ('!'<�—<�—) • затем воспроизводя этот путь между темп же фигурами вне матрицы.

Рис. 2.1.

Задание 2. Задания этого типа ставят целью формирование умения ориентироваться в системе координат: выделять правую верхнюю часть, правую нижнюю часть, левую верхнюю и левую нижнюю части (рис. 2.2). Для выполнения задания используется соответствующая этим направлениям система символов . В заданиях от детей требуется нарисовать в координатной сетке фрукты. Место каждого из них определено стрелкой, изображенной около фруктов. Дан образец выполнения задания. В результате учащийся должен нарисовать банан в правом верхнем углу, яблоко — в левом верхнем, грушу — в левом нижнем углу.

Рис. 2.2.

Большая часть заданий посвящена формированию умений различать замкнутые и незамкнутые фигуры, а также ломаные или кривые линии.

Задание 3. Один из типов таких заданий можно условно назвать «найди дом фигуре» (рис. 2.3). Учащиеся должны расположить в квадраты («домики») фигуры, нарисованные одна под другой (их здесь всего пять, и для удобства объяснения они даны под номерами). Найти фигурке ее «дом» помогут обозначения, стоящие в каждом «домике» (квадрате): верхний квадрат слева — «живут» замкнутые фигуры, образованные кривыми (№ 3); верхний квадрат справа — незамкнутые фигуры, образованные ломаной (4, 5); нижний квадрат слева — незамкнутые фигуры, образованные кривой (№ 2); нижний квадрат справа — замкнутые фигуры, образованные ломаной (№ 1).

Рис. 2.3.

Большой цикл заданий подобран на изменение признака (либо изменить в соответствии со знаком признак предмета, либо определить — какой признак изменен в предмете и поставить этот знак). Данный тип заданий наряду с целями формирования ориентировки в признаках, установления логических взаимосвязей при изменении признаков в замкнутых цепях имеет и еще одну важную цель — подготовка к введению оператора. Выделение этой функции числа обычно представляет известные трудности для детей. Усложнение заданий осуществляется сначала по линии увеличения числа признаков, которые нужно изменить. Так, учащиеся, ориентируясь на знак признака, который нужно изменить у данной фигуры (например рядом с Д стоит знак изменения цвета -*Д должен изменить только один признак (в данном случае вместо, например, желтого должен быть треугольник такого же размера, но любого другого цвета). При знаке изменения формы Д меняется только форма при сохранении других признаков: цвета, размера и др. В дальнейшем изменения осуществляются по 2—3 признакам (в соответствии со знаками изменения). В качестве признаков, которые могут меняться помимо цвета, формы, размеров может выступать и пространственное положение предмета, топологические характеристики и др. Существенным при подборе этих заданий является и то, что здесь используются не только наборы геометрических фигур, оперирование с которыми достаточно быстро усваивается, а рисунки предметов, животных, каждый из которых наряду с другими признаками имеет и характеристики формы, цвета и др. Посте освоения умения изменять признаки у отдельных предметов, учащимся предлагаются аналогичные задания в замкнутых цепях, где прежде, чем изменить признак, поставив соответствующий знак, необходимо посмотреть, не противоречит ли он другим элементам цепи. Покажем это на примере.

Задание 4 (рис. 2.4). Детям предлагается задание, в котором на рисунке игрушки образуют круг с помощью стрелок определенного направления. Над жаждой из стрелок стоит знак изменения. Так между черепашками (№ 1 и № 2) стоит знак изменения пространственного положения который соответствует их различному положению в пространстве. Между черепашкой № 2 и машинкой № 3 стоит знак изменения формы (форма этих игрушек различна). Далее (№ 4) нарисована такая же машинка, которая отличается от № 3 расцветкой. Учащиеся должны поставить в пунктирном круге знак, по которому изменена игрушка (*-.) Последнее и самое сложное — нужно поставить знаки в последнем звене цепи, сравнив по каким признакам отличаются игрушки (здесь это форма и цвет).

Рис. 2.4.

На формирование умений выделять пространственные отношения направлены также задания, где направления стрелок между различными изображениями двусторонние. От учащихся требуется воспроизвести направление и рисунок стрелок между отдельными объектами (вразброс), опираясь на схему расположения.

Приведем в качестве примера одно из таких заданий.

Слева дана схема расположения «домов», в которых живут кощка, собака и птичка. Между домами проложены дорожки разного цвета и направления. Справа нарисованы эти же дома парами в разном сочетании. Пользуясь схемой расположения домов, нужно провести стрелки разного цвета и направления, показывающие как пройти от одного дома к другому. Дан образец (две строчки выполнения задания, рис. 2.5).

Рис. 2.5.

Формирование логического компонента осуществлялось помимо организации деятельности по выделению признаков, главным образом в заданиях, предусматривающих использование аксиом и логических операций (сериации, классификации и сохранения). Задания различались между собой тем, использование какой аксиомы и операции предполагает выполнение. Их усложнение достигалось за счет увеличения количества изменяющихся признаков, а также сложности выделения признаков, выступающих в качестве основания.

Приводим пример задания на сериацию, в котором представлена серия-набор фигур (№ 1). Эти фигуры образуют ряд. Исходя из места, которое занимает каждая фигура в этом ряду нужно вставить недостающие фигуры в ряды (2 и 3), которые составляют части полной серии (№ 1) (рис. 2.6).

Рис. 2.6.

Учащийся, для того, чтобы найти недостающую фигуру в ряду № 2, должен посмотреть на следующую после нее фигуру. В данном случае это звезда (перед ней пустой круг, который нужно заполнить). Он должен найти звезду в серии (ряд № 1) и посмотреть какая фигура стоит перед ней (двойной круг). Эту фигуру ученик и должен нарисовать в пустом круге. Для проверки правильности выбранной фигуры необходимо посмотреть совпадение других фигур (в данном случае — первой). Аналогично подбирается и фигура в другой ряд (№ 3 — в пустом круге должна быть звезда).

Задания на классификацию предусматривают не только формирование этой операции в полном наборе ее составляющих, но и умений решать задачи на классификацию и сериацию одновременно, умения переходить от одних средств изображения классов и отношений между ними к другим.

Приведем в качестве примера задание на классификацию по двум признакам (используется таблица).

Учащиеся получают таблицу, по краям которой указаны признаки: вверху — кружки разной расцветки, слева — блюдца, различающиеся рисунком. Учащиеся должны заполнить клетки таблицы, поместив в каждую из них кружку и блюдце определенной расцветки. Дан образец выполнения задания, где в пересечении горизонтальной и вертикальной линий должна быть кружка в горошек и «кружевное» блюдце (рис. 2.7).

Рис. 2.7.

Наряду с заданиями на классификацию и сериацию учащиеся выполняют задания и на сохранение. Эти задания направлены на формирование понимания того, что одно и то же количество жидкости (сыпучего материала), перелитое из одного сосуда в другой, отличающийся от первого формой, сохраняет количество, меняя уровень. Аналогичные задания подобраны на сохранение площади и др. Приведем в качестве примера одно из них. Учащемуся предлагается задание, в котором два одинаковых пакета молока выливаются в разные по форме сосуды. Им нужно сравнить содержимое этих сосудов, поставить знаки сравнения, указав признаки, по которым осуществляется сравнение (количество, уровень и др.) (рис. 2.8).

Рис. 2.8.

Формирование общих математических знаний и умений осуществлялось в заданиях на установление взаимнооднозначного соответствия элементов, измерение величин, примеры которых мы не приводим здесь поскольку с одной стороны они мало отличаются от заданий, используемых в практике обучения, с другой стороны, они подробно описаны в наших публикациях.

Приведем в качестве примера лишь задание на сравнение двух групп объектов по разным признакам, в том числе и на сравнение количества элементов разных множеств и последующего их уравнивания.

Требуется сравнить две группы шаров, записать знаками, по каким признакам эти группы сходны (рядом со знаком =) и по каким признакам они различаются (рядом со знаком ^). По каким признакам можно уравнять эти группы и как это сделать (рис. 2.9)?

Рис. 2.9.

Наряду с требованиями, касающимися отработки каждого компонента, организация процесса усвоения знаний подчиняется общим принципам, которые мы хотим показать на материале формирования знаний и умений основной части курса.

Процесс овладения содержанием курса опирается на психологическую теорию поэтапного формирования знаний, умений в соответствии с которой усвоение новых знаний должно начинаться с организации предметной деятельности с реальными объектами или их заместителями и последующего перевода ее через использование знаков или символов в умственный план. При этом большое значение придается отработке речи ребенка, для чего широко применяются групповые формы работы. Покажем на материале формирования понятия числа и арифметических действий организацию предметной деятельности. Требования материализации действия реализуются таким образом, что усвоение всех математических знаний осуществляется через действия с реальным материалом и моделями. Так с первого до последнего занятия при отработке принципа десятичности, состава числа, действий сложения и вычитания и других знаний учащиеся работают с реальным материалом в разрядной сетке.

Разрядная сетка не появляется эпизодически на время объяснения нового материала на доске у учителя, а имеется у каждого учащегося на парте и на каждом уроке на доске у учителя и сохраняется на весь период обучения нумерации. На разрядной сетке проводится отработка всех основных положений, связанных с нумерацией, с усвоением арифметических действий. Основное внимание уделяется работе с реальными объектами в разрядной сетке, переходам одной меры в другую, сопровождаемым обязательно записью цифрами. Рекомендуемый методическими пособиями абак для объяснения принципа десятичности с использованием различных символов для изображения единиц каждого разряда (например, кружки разного цвета) как представляется нам, лучше всего использовать уже на более поздних этапах обучения, поскольку символы не раскрывают взаимоотношения между разрядами, перехода из разряда в разряд, так как для каждого разряда используется своя символика. Точно так же и счеты могут с успехом использоваться только на более поздних этапах усвоения. Задания на состав чисел, превращение и раздробление мер и др. выполняются длительное время только с опорой на материализацию. Уделяя большое внимание отработке принципа десятичности в разрядной сетке на реальных объектах, мы тем самым способствуем осознанному усвоению действий сложения и вычитания с переходом через разряд, с изучения которых учащимися и начинается обучение действиям. Только тогда можно сформировать полноценные вычислительные навыки, когда учащиеся понимают принципы построения числа, взаимоотношение разрядов.

Материализованная форма действия существенно облегчает процесс усвоения, она наглядно раскрывает логику, содержание действия. Все условия выступают во внешнем плане, учащемуся не нужно держать в уме предмет и систему операций; не требуется для совершения действия и предварительного заучивания его содержания. Так, при сложении и вычитании чисел с переходом через разряд второе слагаемое или вычитаемое наглядно разлагается на компоненты, соответствующие последовательности операций. Все это материально фиксируется до тех пор, пока действие с переходом через десяток вызывает у детей трудности.

Например,.

«7» в данном случае раскладывается на составные «5», соответствующее 1-й промежуточной операции, и «2», соответствующее 2-й промежуточной операции.

В дальнейшем некоторые промежуточные операции уже не требуют материальной фиксации, например, в данном случае «8» не требуется записывать в виде его составляющих, эта операция может совершаться уже без внешних опор, а постепенно снимается материальная фиксация всех промежуточных моментов. Но сохраняется еще для некоторых учащихся одинаковое подчеркивание одних и тех же разрядов в компонентах действия.

Например,.

Такое подчеркивание в сочетании с правилом («действия могут производиться над числами, полученными одной мерой») является средством, облегчающим операции сложения и вычитания.

Одним из требований теории поэтапного формирования умственных действий является максимальная развернутость действия на первых этапах его отработки, в соответствии с уровнем подготовки учащихся.

Исследования по формированию умственных действий обнаружили, что для любого задания можно выделить и представить учащемуся систему условий, при которых задание с первого раза будет выполняться правильно. Эти условия состоят в том, что учащиеся, кроме образца действия, получают еще ориентиры, которые обеспечивают им безошибочное выполнение задания. При этом, если учащийся делает ошибки при выполнении задания, значит какая-то часть условий не включена в данную систему ориентиров.

Для этого нужно разделить действие на столько операций, чтобы ученик самостоятельно после разъяснения учителя мог его выполнить. Развернутость может затягивать процесс обучения на первых порах, но делает его осмысленным, сознательным, поскольку раскрывает объективную логику процесса. На первых порах обучения нужно особенно тщательно следить за осознанным усвоением материала, максимально развертывая для этого процесс. Так, например, групповой счет проводится обычно как последовательное называние чисел 0, 3, 6, 9 и т. д., что представляет собой уже результат совершенной операции; в нашей программе групповой счет отрабатывается через действия: 0, 3… Как получено 3? (О + 3 = 3), то же и в обратном счете: 9, 6… Как получено 6? (9 — 3 = 6) и т. д.

Отработка группового счета происходит не в устном плане, а на модели числового ряда. По мере освоения групповой счет переводится в устный план, но вначале с сохранением развернутых арифметических действий, как основания для получения каждого следующего числа. В дальнейшем групповой счет проводится сокращенно. Возвращение к арифметическим действиям носит в дальнейшем лишь контрольный характер. Вычитание с переходом через разряд совершается в нашей экспериментальной программе с развернутым решением всех промежуточных операций и с материальной фиксацией их: вычитание свободных единиц, занимание единиц следующего разряда, перенос их и раздробление в единицы соответствующего разряда, вычитание оставшихся единиц и т. д.

Например,.

Такая фиксация всех промежуточных операций помогает понять принцип действия и облегчает совершение операций, позволяя не держать в уме числовые данные, а имея их перед глазами.

По мере освоения материала промежуточные операции уже не фиксируются, а только проговариваются, постепенно снимается и проговаривание, операция совершается целиком в уме, все более сокращаясь. Так в дальнейшем не следует столь развернуто проводить групповой счет, с делением на все мелкие операции проводить действия вычитания, сложения. Постепенно промежуточные операции исчезают.

При поэтапной отработке усвоения понятий необходимо учитывать следующее. Нельзя автоматизировать действие на промежуточных ступенях его усвоения, иначе может наступить нежелательная фиксация его на более низком уровне. Например, может зафиксироваться счет на палочках (этап материального действия). Необходимо вовремя переводить учащегося на следующую ступень обучения — тогда, когда действие на данном этапе выполняется легко, быстро, но не доведено до степени автоматизации.