Организация деятельности младших школьников при решении задач с пропорциональной зависимостью

На этапе констатирующего эксперимента нами был выявлен невысокий уровень умений учащихся осуществлять решение задач с пропорциональной зависимостью. В этом процессе выполняются различные виды работ. Не все школьники исследуемого класса умеют составлять задачу по условному рисунку, а также выбирать решение к задаче. Исходя из этого, мы в большей степени, работали над такими методическими приемами, как.

• — составление задачи по данному решению,
• — объяснение выражений, составленных по данному условию,
• — составление задачи по таблице,
• — составление задачи по данному решению,
• — составление задачи по условному рисунку,
• — выбор вопроса к задаче,
• — выбор условия к данному вопросу,
• — выбор решения к задаче и т. д.

В процессе формирующего эксперимента в этом классе был проведен ряд уроков (конспекты некоторых из них мы приводим в приложении), где использовались разнообразные методические приемы, направленные на формирование навыка у учащихся решать задачи с пропорциональной зависимостью (см. Приложение № 3).

Для повышения уровня умения решать задачи с пропорциональной зависимостью у младших школьников для начала нам было необходимо улучшить качество анализа содержания задачи. Для этого на этапе актуализации знаний на одном из уроков нами были предложены для устной работы следующие простые задачи:

За 12 вилок уплатили столько же, сколько за 6 ножей. Что можно сказать о цене ножей?

Учитель читает задачу и предлагает ответить на вопрос, но у учащихся возникли трудности при формулировке ответа. Ксения К. высказала свою точку зрения: «Она такая же, как и цена вилок». Учитель поинтересовался, есть ли другие мнения в классе, но ответа не последовало. Тогда учитель спросил у класса: «Как же она может быть такой же, если за 12 вилок заплатили столько же, сколько за 6 ножей?» И тут Максим З. ответил: «Цена ножей в два раза больше, чем цена вилок». Он смог и обосновать свое мнение: «Я сделал такой вывод, потому что вилок купили 12, а ножей 6, т. е. в 2 раза меньше». У детей данного класса возникли трудности при выполнении данного задания, потому что они никогда не решали подобного вида задачи на этапе устного счета. На этом же уроке им была предложена еще одна задача:

За булочки уплатили в два раза больше, чем за такое же количество пирожков. Почему?

У большинства детей также возникли трудности при ответе на вопрос данной задачи, но Людмила А. практически сразу сообразила: «Цена булочки в два раза больше цены пирожка». А Мария Ш. смогла обосновать правильный вывод Людмилы: «Цена булочки в два раза больше цены пирожка, так как за все булочки заплатили в два раза больше, чем за такое же количество пирожков». Так же ответить на вопрос этой задачи были готовы Евгения Ш., Мария И., Максим З., Никита А., то есть с этим заданием дети справились гораздо легче, чем с предыдущим.

На последующем уроке были предложены еще задачи такого типа, которые способствовали выявлению зависимости между величинами в рассматриваемых процессах:

3 насоса выкачали, а литров воды. Сколько выкачает 6 таких насосов?

Учитель прочитал задачу, но учащиеся снова затруднялись ответить на вопрос, и учитель стал анализировать задачу с помощью системы вопросов:

— Было 6 насосов, а стало 3. Больше насосов стало?

Учащиеся: «Да».

• — Во сколько раз больше?
• — В 2 раза.
• — Значит, что можно сказать? Во сколько же раз больше они выкачали воды? — В 2 раза.

После этого практически все дети смогли ответить на вопрос задачи и аргументировать свой ответ, но первой это сделала Елена М.: «6 насосов выкачает 2а литров воды, так как во втором случае насосов стало в 2 раза больше».

Далее мы предложили задачу на движение, они — одни из самых сложных: Одно и тоже расстояние автомобиль проехал за 2 ч, а велосипедист за 8 ч. Что можно сказать о скорости автомобиля и велосипедиста?

С этой задачей учащиеся справились намного быстрее. Анастасия Б. Сразу же, после прочтения учителем задачи, была готова дать ответ: «Скорость автомобиля была больше, чем скорость велосипедиста». Но для ответа на вопрос задачи этой формулировки было недостаточно, поэтому учитель попросил выразиться более конкретно. И тут Николай И. дал полный ответ: «Скорость автомобиля больше в 4 раза, чем скорость велосипедиста». Он также смог объяснить, почему он пришел к такому выводу: «Для того чтобы узнать во сколько раз больше скорость автомобиля, чем велосипедиста нужно разделить время, которое велосипедист находился в пути на время в движения автомобиля, так как расстояние они проехали одинаковое, то есть.

8: 2 = 4 (р.)".

Так же на наших уроках было предложено еще одно из запланированных заданий, способствующих повышению качества анализа текста задачи, раскрытию зависимости между данными и искомыми величинами, а также в этом задании учитель осуществляет связь с жизненным опытом детей.

На доске записаны следующие вопросы:

• 1. Назови процесс, о котором идет речь в задаче.
• 2. Какими величинами он характеризуется?
• 3. Можно ли решить эту задачу?

Учитель читает задачу, а после прочтения учащиеся отвечают на вопросы, записанные на доске.

Из 15 м ткани сшили 3 платья. Сколько ткани пошло на 2 платья?

Учащиеся без труда отвечают на первый и второй вопросы: «Составление целого из частей. Часть — это сколько идет на одно платье, а целое — сколько всего пошло на эти платья.» И учащиеся приходят к выводу, что эту задачу можно решить. Но учитель дополняет условие задачи: «Одно платье было для бабушки, одно для внучки, а третье для мамы.» После этого все учащиеся говорят, что такую задачу решить нельзя, потому что неизвестно, сколько ткани идет на одно платье, так как размеры разные, то есть платья неодинаковые. И тут, учитель спрашивает, какого же слова не хватает в задаче и читает еще раз первый вариант задачи. Учащиеся приходят к выводу, что в задаче не хватает слова «одинаковых», без этого слова задачу решить невозможно. Евгения Ш. констатирует полный вариант задачи: «Из 15 м ткани сшили 3 одинаковых платья. Сколько ткани пошло на 2 платья?» Далее Мария Ш. предлагает решение этой задачи: «Сначала нам нужно узнать, сколько метров ткани пошло на 1 платье. Для этого надо количество всей использованной ткани разделить на количество сшитых платьев, то есть 15: 3 = 5 (м). Чтобы узнать, сколько ткани ушло на 2 платья, нужно количество ткани ушедшее на 1 платье умножить на 2, то есть 5 • 2 = 10 (м). Ответ: 10 м.» После выполнения этого задания мы можем сказать, что учащиеся хорошо знаю процессы, рассматриваемые в задачах, а также группы величин, которыми они характеризуются, но анализ текста задачи находится пока все еще не на высоком уровне.

Очередной была предложена такая простая задача:

За 12 секунд спортсмен пробежал 100 м. Сколько он пробежит за 6 секунд?

После прочтения задачи, учитель задает детям вопрос: «Вы наблюдали когда-нибудь спортивные соревнования? Видели, как бежит спортсмен?» Учащиеся отвечают, что они, конечно, видели и Николай И. сразу же предлагает изменения в тексте задачи: «В задаче не хватает данных. Нужно сказать, что спортсмен бежал равномерно, иначе мы не может ответить на вопрос задачи, так как спортсмен не может всегда бежать с одинаковой скоростью». Николай И. проявил удивительную сообразительность и, безусловно, был прав в своих выводах, что говорит о безоговорочном улучшении качества анализа текста задачи учащимися данного класса. Далее, учащиеся отвечали на вопросы, записанные на доске. С этим заданием справились все учащиеся: «В данной задаче говорится о процессе движения, и этот процесс характеризуется следующими величинами: путь, скорость и время». Затем Максим З. предложил решение задачи: «Сначала, нам нужно узнать во сколько раз меньше по времени спортсмен пробежал в первый раз, чем во второй, для этого надо время, которое он потратил на движение вначале, разделить на время, которое он бежал во второй раз: 12: 6 = 2 (раза) Во второй раз он потратил в два раза меньше по времени, значит и расстояние стало тоже в два раза меньше, так как скорость была одинаковая: 100: 2 = 50 (м). Ответ: за 6 с спортсмен пробежал 50 метров». Здесь мы задали вопрос для осмысления понятия быстрее: «Что такое быстрее? «И в итоге сделали вывод, что быстрее — это значит, потрачено на движение времени меньше.

На последующих наших уроках мы использовали такую группу методических приемов как выбор. В процессе выбора учащиеся могут отбирать условие, вопрос, модель, решение. Рассмотрим образцы методических приемов и задач, которые были предложены классу.

Выберите верное решение к задаче:

Дедушка купил 5 одинаковых пакетов с картофелем, общая масса которых — 20 кг. Витя помог дедушке и донес 2 пакета. Сколько килограммов картофеля нес Витя?

Были для выбора предложены такие числовые выражения:

20: 5: 2 = 2 (кг) 20: 2 • 5 = 50 (кг) 20: 5 • 2 = 8 (кг) 20: 2: 5 = 2 (кг)

Задача была предложена детям на индивидуальных карточках, один учащийся читает задачу вслух и учитель предлагает учащимся проанализировать ее. Этап анализа содержания задачи был проведен учителем фронтально с помощью постановки вопросов и поиска ответов на них. Например: «О чем идет речь в задаче?» Даниил И. ответил: «О массе пакета с картофелем». Далее нам необходимо было выяснить: «Что же нам известно из условия задачи?» Екатерина В. ответила следующим образом: «Нам известно, что 5 пакетов, которые нес дедушка, весят 20 кг. А Витя нес 2 пакета. А еще нам известно, что все пакеты одинаковые». Затем нам нужно было узнать, в чем же заключается вопрос задачи. И Есения К. ответила: «Нам нужно узнать, сколько килограммов картофеля нес Витя, то есть, сколько весят 2 пакета». На данном этапе у учащихся трудности не возникли, что говорит об уже достаточно хорошо сформированном навыке анализа текста задачи. Затем учитель предлагает выбрать правильное решение к задаче из предложенных на доске и записать его в тетради. Но с его выполнением справились только два учащихся. В связи с этим, учитель решил составить план решения задачи. «Можем ли мы сразу ответить на вопрос задачи?» — спросил учитель. Дмитрий Г. решил, что он может, но Дарья Р. тут же ему возразила: «Как ты можешь сразу ответить на вопрос задачи, если ты не знаешь, сколько весит один пакет?» Остальные учащиеся сразу же с ней согласились. Далее Елена М. составила план решения задачи: «Сначала нам нужно узнать, сколько весит один пакет с картофелем, для этого нам нужно массу пакетов, которые нес дедушка, разделить на их количество. А затем, массу одного пакета умножить на количество пакетов, которое нес Витя. И тогда мы сможем ответить на вопрос задачи, сколько килограммов картофеля нес Витя». Только после этого практически все учащиеся поняли предложенное заданием и смогли выбрать верное решение к задаче, но аргументировать свой выбор смогли только Дарья Р., Мария Ш., Елена М., Даниил И., Артем Х: «Я выбрал третье решение, так как сначала нам нужно 20 разделить на 5, и мы получим 4 кг. Это масса одного пакета с картофелем, а потом мы 4 умножим на 2, и у нас получится 8. Это масса картофеля, которую нес Витя». Далее учащиеся записали верное решение в тетрадь, а также ответ, который предложила Есения К.: «Витя нес 8 кг картофеля». Затем учитель задал вопрос: «Что вы заметили при выборе решения к этой задаче? Что происходит с массой картофеля при изменении количества пакетов?» Почти все учащиеся сразу были готовы были дать ответ на этот вопрос: «При уменьшении количества пакетов, уменьшается и масса картофеля».

Не справились с заданием Максим У., Залина Р. и Никита А. Эти учащиеся значительно отстают от своих одноклассников, так как у них слабо развита мотивация к учебе, и они отказываются отвечать на вопросы учителя.

На очередном уроке мы предложили учащимся задание такого же рода.

Выберите верное решение к задаче:

«Из куска ткани можно сшить 12 детских плащей, расходуя на каждый по 2 м. Сколько плащей для взрослых можно сшить из этого куска, если расходовать по 4 м ткани на каждый?»

12 • (4: 2) = 24 (пл.) 12 • 2: 4 = 6 (пл.) 12: 2 • 4 = 24 (пл.)

Задача была предложена детям на индивидуальных карточках, один учащийся читает задачу вслух и учитель предлагает учащимся проанализировать ее. Этап анализа содержания задачи был проведен учителем фронтально с помощью постановки вопросов и поиска ответов на них. Затем учащиеся выбирают правильное решение из предложенных вариантов. С этим заданием ученики справились гораздо лучше, чем с первым. Но не все учащиеся сразу выбрали правильный ответ. Например, Ксения К. высказала свое мнение следующим образом: «Я выбрала третье решение, так как оно соответствует решению задачи. Сначала нам нужно узнать, сколько метров ткани расходовалось на один детский плащ…» Но Людмила А. прервала Ксению К.: «Ксюша, нам же известно, что на детский плащ уходила 2 м ткани!» И Ксения К. тут же сообразила: «Верно второе решение, так как сначала нам нужно узнать какой длины был весь кусок ткани, нужно 12 умножить на 2, а затем это произведение разделить на длину куска ткани, расходуемого на один взрослый плащ, то есть на 4. И мы получаем решение 12 • 2: 4 = 6 (пл.)». Учащиеся записывают верное решение в тетради. После этого учитель задает вопрос: «А как по-другому можно было решить данную задачу?» Этот вопрос поставил учащихся «в тупик». Но через некоторое время Николай И. высказал свою точку зрения: «Сначала нам нужно узнать во сколько раз больше нужно ткани на плащ для взрослого, чем на детский плащ. Для этого нужно длину ткани необходимую для плаща для взрослого разделить на длину ткани необходимую для детского плаща, то есть 4 разделить на 2, а затем количество плащей детских плащей разделить на полученное частное. И мы получим, что из этого куска можно сшить 6 плащей для взрослых.» Николай И. записал это решение на доске: 12: (4: 2) = 6 (пл.) Затем учащиеся записали ответ, сформулированный Евгенией П.: «Из этого куска ткани можно сшить 6 плащей для взрослых». Далее учитель подводит детей к выводу: «Какую зависимость вы заметили в этой задаче?» На этот вопрос детям было сложнее ответить, чем на подобный вопрос после выполнения предыдущего задания, но все же Дарья Р., Мария Ш., Евгения Ш., Максим З., Николай И., Ксения К. смогли сделать правильный вывод: «Чем больше ткани расходуется на один плащ, тем меньше плащей получится, если взять определенный кусок ткани».

При выполнении данного задания, у учащихся мы заметили улучшения навыка анализа текста задачи и выбора правильного решения к задаче. Также стало ясно, что учащимися хорошо усвоены понятия прямой и обратной пропорциональной зависимости.

На наших уроках в качестве методического приема мы не использовали выбор модели к задаче, так как соответствующий навык сформирован у детей на очень высоком уровне, но мы использовали такие методические приемы, как выбор вопросов и выбор условия к данному вопросу. Например:

1. Выберите вопрос к задаче:

Купили 7 м шелка и 5 м шерстяной ткани по одинаковой цене. За всю ткань заплатили 360 рублей.

• а) Сколько всего ткани купили?
• б) Сколько заплатили за шелк?
• в) Сколько заплатили за всю ткань, которую купили?
• г) Сколько заплатили за шерстяную ткань?
• д) Сколько метров ткани осталось в магазине?

Учитель читывал задачу и предлагал учащимся проанализировать ее, в ходе чего выявляются данные и искомые величины. Затем учащиеся читают первый вопрос и приходят к выводу, что он не подходит, так как при ответе на него в задаче остается лишнее данное. После прочтения второго вопроса многие учащиеся сказали, что он тоже не подходит к условию задачи. Но большинство из них сделало это неосознанно, так как на вопрос «Почему?» никто из них ответить не мог. Зато Дарья Р. пришла к выводу, что данный вопрос подходит к условию задачи, так как для ответа на него необходимы такие данные как длина шелка, длина шерстяной ткани, общая стоимость ткани, а также цена шелка и шерсти и все эти данные есть в условии. При работе с третьим вопросом у учащихся трудностей не возникло. Они единогласно решили, что данный вопрос не подходит, так как ответ на него уже есть в тексте задачи. Относительно четвертого вопроса высказалась Мария Ш., она решила, что он соответствует условию задачи, и смогла обосновать свой вывод аналогично выводу Дарьи Р. о втором вопросе. Анализ последнего вопроса ни у кого не вызвал трудностей и все учащиеся решили, что он не подходит к данному условию, так как в тексте появляются или лишние, или недостающие данные. В процессе работы над такими заданиями учащиеся проводят анализ, синтез текста задачи, высказывают свои точки зрения, затем сравнивают предложенные и выбирают правильные ответы. На первых парах Артем М., Арина И., Анастасия Б. и Людмила А. не понимали, что нужно сделать с вопросом и текстом задачи. Они предлагали варианты по смене текста задачи. Например:

В магазине было 25 м шелка и 40 м шерстяной ткани. Сколько метров ткани осталось в магазине?

Причиной подобных ошибок могло стать то, что ребята невнимательно слушали задание и не в полной мере осознавали его.

Также на наших уроках мы использовали следующий прием:

2. Выберите условие к данному вопросу:

Во сколько раз больше мальчиков, чем девочек участвовало в соревнованиях?

Предложенные условия:

• а) В соревнованиях участвовало 9 команд мальчиков и еще 24 девочки.
• б) В соревнованиях участвовало 9 команд мальчиков, по 8 человек, и в 4 раза меньше девочек.
• в) В соревнованиях участвовало 9 команд мальчиков, по 8 человек, и еще 24 девочки.
• г) В соревнованиях участвовало 24 девочки и еще в 3 раза больше мальчиков.
• д) В соревнованиях участвовало 48 мальчиков и 24 девочки.

В процессе выполнения этого задания, также как и предыдущего, учащиеся проводят анализ, синтез текстов задачи, высказывают свои точки зрения, затем сравнивают предложенное и выбирают правильные ответы. Некоторые учащиеся, такие как, Есения К., Дмитрий Б., Мария И., Даниил И. и другие, выбирали неверные ответы, так как не могли сопоставить искомые и данные, но в процессе обсуждения и выполнения задания, они вникли и смогли дать правильные ответы. Например, Мария И. решила, что к данному вопросу подойдет второе условие, но другие учащиеся ее тут же поправили: «Ты что! В этом условии уже есть ответ на сам вопрос!» А Дмитрий Б. сказал, что третье условие не подходит, так как в нем не хватает данных, но Максим З. возразил ему: «В этом условии хватает данных. Сначала нам нужно узнать, сколько всего мальчиков участвовало в соревновании, умножив количество человек в команде на число команд, а потом разделить количество мальчиков, участвующих в соревновании на количество девочек и мы сможем ответить на вопрос задачи».

Уже по прошествии нескольких уроков, на которых мы использовали приемы выбора вопроса к условию и выбора условия к вопросу, количество ошибок сократилось, и дети начали работать с удовольствием.

Также в ходе формирующего эксперимента мы проводили работу по объяснению выражений, составленных по данному условию.

• 3. Послушайте задачу и решите, что мы узнаем из следующих выражений:
• 4 • 20 20: 5 2 • 5 4: 2

В 4 больших пакетах лежит по 20 груш в каждом, а в 2маленьких пакетах — по 5 груш. Сколько всего груш в этих пакетах?

При работе с методическими приемами, подобными этому, у детей возникли трудности, но в достаточно мало. Это говорит о том, что учитель класса уже использовал данный прием при работе с задачами с пропорциональной зависимостью, и дети смогли хорошо проанализировать текст задачи. С методическим приемом, объяснения выражений, составленных к данному условию дети знакомы, поэтому выполняли задание, в основном, быстро. Но Залина Р., Арина И., Дмитрий Г., Анастасия К. все равно допустили ошибки, это связано с тем, что перечисленные ученики не смогли осмыслить текст задачи. На последующих уроках Арина И. и Анастасия К. начали рассуждать уже правильно. Причиной этому может служить то, что у детей плохо развита речь, т.к. они затрудняются рассуждать в процессе поиска ответа.

На наших уроках мы также использовали такой методический прием как составление текста задачи по условному рисунку.

4. На одном из уроков, учащимся была предложена следующая задача:

Двум семьям нужно уплатить в месяц за газ 90 рублей. В одной семье 5 человек, а в другой — 4 человека. Сколько должна уплатить в месяц каждая семья?

Учитель прочитал данную задачу, проанализировал ее вместе с учащимися, используя моделирование ситуации, описанной в задаче при помощи условного рисунка:

? ?

90 руб.

На этапах поиска пути решения и осуществления плана решения задачи трудностей у детей не возникло. После решения задачи, учитель изменяет одно данное в условном рисунке и просит детей перерисовать его в тетрадь с измененным данным:

• ? ?
• 90 кг

Учитель объявляет детям, что сейчас им предстоит составить свою собственную задачу по этому рисунку и задает наводящие вопросы, которые помогут в составлении задачи, например такие:

• — Что могут означать квадраты?
• — Что может обозначать 90 кг?

Учащиеся без труда ответили на данные вопросы, но составить задачу смогли лишь немногие: Дарья Р., Мария Ш., Елена М., Анастасия К., Анастасия Б., Дмитрий Г., Ксения К., Даниил И., Максим З., Мария И., Артем Х., Николай И., то есть практически половина класса. Были составлены такие задачи:

• — В детский сад привезли 5 ящиков с яблоками и 4 ящика с грушами. Сколько килограмм яблок и сколько килограмм груш привезли, если всего привезли 70 кг?
• — 9 одинаковых дынь весят 90 кг. Сколько весят 5 таких дынь сколько весят 4 такие дыни?

Ошибки у учащихся возникали, в основном, из-за того, что они не могли правильно проанализировать модель и выявить данные и искомые задачи.

Например, были составлены такие задачи:

• — В школу привезли 90 кг овощей. 50 кг огурцов и 40 кг помидоров. Сколько килограммов огурцов в одном ящике? Сколько килограммов помидоров в одном ящике?
• — Маша купила 5 пачек карандашей, а потом еще 4 пачки. Сколько Маша купила карандашей?

Итак, на данном этапе мы продолжали наиболее качественно обучать учащихся решению задач с пропорциональной зависимостью, анализируя текст, модель, решения задач, сравнивая их. И с каждым новым уроком ответы школьников становились более обоснованными, осознанными, а работа быстрой и интересной.

Для достижения нами поставленной цели, как мы увидели, необходимо на каждом из этапов решения текстовых задач:

• 1) проводить качественный анализ содержания задачи;
• 2) использовать моделирование содержания, демонстрируя взаимосвязь между данными и искомыми величинами;
• 3) применять различные методические приемы на каждом из этапов решения задач:
  • а) составление задач по условному рисунку;
  • б) составление задачи по таблице;
  • в) составление задач по данному решению;
  • г) выбор вопроса к задаче;
  • д) выбор условия к данному вопросу;
  • е) выбор решения к задаче;
  • ж) объяснение выражений, составленных по данному условию.

На последующем этапе исследования мы проверим истинность наших утверждений.