Формирование умений, лежащих в основе геометрического доказательства

Предмет исследования

Настоящая работа принадлежит к циклу исследований, проведенных на основе методических принципов теории формирования умственных действий и понятий П. Я. Гальперина.

Предметом нашего исследования являлась проблема доказательства в начальном курсе геометрии.

Усвоение геометрии предполагает не только овладение системой геометрических понятий, но и целым рядом различных умений, среди которых наиболее важным является умение доказывать.

Общеизвестно, что учащиеся средней школы, как правило, не владеют данным умением. Они не только не умеют самостоятельно решать задачи на доказательство и доказывать теоремы, но часто оказываются не в состоянии осуществить простое воспроизведение доказательства уже известной им теоремы, если к ней дан чертеж с другими буквенными обозначениями или если чертеж расположен иначе.

В проведенном нами исследовании была предпринята попытка на основе анализа умения доказывать раскрыть его содержание, выделить составляющие данное умение компоненты и организовать их усвоение.

Интересующая нас проблема является объектом внимания не только преподавателей геометрии, математиков-методистов, но и психологов. Однако ни в методической, ни в психологической литературе мы не находим исследований, авторы которых подходили бы к данной проблеме со стороны анализа умения доказывать, выделения составляющих его содержание действий и операций. С другой стороны, в этих исследованиях остается нераскрытым также и содержание того процесса, результатом которого является усвоение умения доказывать.

Выполнение геометрического доказательства возможно лишь при условии владения учащимися некоторой предварительной системой геометрических знаний и умений.

Отсутствие необходимых для решения задачи знаний или же их плохое качество вызывает у учащихся различного рода затруднения. Этот факт неоднократно отмечался в методической литературе по геометрии. В работах В. И. Зыковой и Е. Н. Кабановой-Меллер он был подвергнут специальному исследованию. Авторами, в частности, было убедительно показано, что неумение решать задачи может быть связано, например, с тем, что у учащихся сформировано слишком широкое или слишком узкое понятие о той или иной геометрической фигуре [8], с недостаточно обобщенным усвоением теоремы [10], с отсутствием систематизированности понятий [7] и т. д.

Формирование полноценной системы начальных геометрических понятий является, таким образом, очень важным, однако лишь предварительным условием успешности решения задач на доказательство. Умение решать задачи — это умение применять уже имеющиеся у учащихся знания в соответствии с конкретными условиями задачи или теоремы.

В этой связи большого внимания заслуживает высказанная рядом математиков и методистов идея регулирования мыслительной деятельности в процессе доказательства посредством системы правил, указаний, советов и т. д. (Ж. Адамар [1], Д. Пойа [12], Н. Н. Иовлев [9], А. Сонцов [13] идр.).

Наиболее полное отражение указанная точка зрения нашла в исследованиях Л. Н. Ланды [11]. Автором было показано, что затруднения учащихся при доказательстве могут быть связаны не только с отсутствием необходимых для доказательства знаний или с их плохим качеством, но и с неумением правильно применять эти знания, правильно анализировать задачу.

В связи с этим он предлагает вооружить учащихся «методом рассуждения» в процессе решения задач на доказательство. Чтобы обеспечить формирование указанного метода, Л. Н. Ланда рекомендует учащимся пользоваться специальным правилом, раскрывающим содержание и последовательность анализа условия задачи. Правило включает в себя следующие рекомендации: посмотреть, что дано и что требуется доказать; сделать выводы из того, что дано; вспомнить все известные признаки фигур и сопоставить их с тем, что дано, а также и с чертежом; выделяя на чертеже элементы, выяснить, чем они могут еще являться, и т. д. Говоря о содержании отдельных пунктов правила, необходимо отметить, что учащимся в них рекомендуется выполнять действия, представляющие собой довольно сложные умения. Формирование таких умений требует применения особой методики и специальной системы заданий.

Естественно, что это ставит под сомнение целесообразность формирования у учащихся «метода рассуждения» без предварительной отработки с ними таких, например, действий, как выведение следствий из того, что дано в условии, или подведение заданных в условии геометрических явлений под системы признаков искомых понятий и т. д.

юз Применение подобных правил безусловно необходимо и целесообразно, но лишь в качестве способа регулирования процесса применения уже сформированных действий. У Л. Н. Ланды, как мы видим, формирование таких действий вообще не предусмотрено.

Таким образом, в исследованиях, посвященных проблеме доказательства, действия, составляющие содержание умения доказывать, или вообще не выделяются, или же выделяются, но при этом не выступают в качестве специального предмета усвоения.

Доказательство теоремы (или решение задачи на доказательство) состоит, как известно, в обосновании положения данной теоремы посредством аксиом, определений понятий или ранее доказанных геометрических предложений. Однако для выяснения того, что из себя представляет умение доказывать, необходимо выяснить, какие действия и операции ученик должен выполнить, чтобы указанное обоснование произошло.

Как известно, геометрическая теорема (как и задача на доказательство) состоит из условия и заключения. Существует довольно большая категория теорем, доказательство которых сводится к обоснованию наличия в условиях этих теорем того или иного геометрического понятия. Доказать такого рода теорему — это значит подвести заданные в ее условии геометрические явления под искомое понятие, т. е. проверить, обладают ли геометрические явления, заданные в условии, всеми необходимыми и достаточными признаками искомого понятия, содержащегося в заключении. Характер операций проверки зависит от множества различных условий, в том числе и от логической структуры признаков искомого понятия^[1]. При конъюнктивной структуре признаков для доказательства должны быть обнаружены все необходимые и достаточные его признаки. Наоборот, при дизъюнктивной их структуре операция проверки ограничивается обнаружением хотя бы одного из признаков.

Естественно, что подведение под один из признаков требует предварительного установления того, какой именно признак искомого геометрического понятия должен быть использован в каждом отдельном случае.

При дизъюнктивной структуре признаков искомого геометрического понятия действие подведения, таким образом, опосредуются действием выбора. Причем последнее в структуре процесса доказательства выступает в качестве необходимого предварительного условия выполнения основного действия — подведения.

Искомые геометрические понятия могут иметь не одну, а несколько систем необходимых и достаточных признаков, каждая из которых дает возможность проверить наличие в условии теоремы (или задачи на доказательство) искомого геометрического понятия. Естественно, что без знания этих систем действие подведения, а следовательно, и сам процесс доказательства не могут быть осуществлены. Владение действием подведения (а при дизъюнктивной структуре признаков также и действием выбора), знание систем признаков искомых геометрических понятий — необходимые условия успешного проведения геометрического доказательства.

Однако указанные два условия не являются достаточными. Признаки искомого геометрического понятия содержатся в условии в опосредованном виде, т. е. заданы через системы других понятий. Причем степень опосредованность может быть разной, что и является одним из главных показателей сложности теоремы.

Следовательно, даже хорошо владея действием подведения под понятие и зная необходимые и достаточные признаки искомого понятия, ученик может не знать, как их найти, т. е. как за системой одних понятий обнаружить систему других. Например, чтобы доказать, что биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны, надо выяснить, скрываются ли за понятиями «смежные углы», «биссектриса» признаки перпендикулярных прямых (две прямые; образуют прямой угол). А для этого надо «развернуть» эти понятия, т. е. из понятий «биссектриса» и «смежные углы» вывести все необходимые следствия. Проделанный анализ позволяет нам говорить о следующих компонентах, входящих в умение доказывать.

• 1. Действие подведения геометрических явлений под понятие. Доказать — это значит установить, обладают ли заданные в условии геометрические явления необходимыми и достаточными признаками искомого понятия.
• 2. Знание систем, необходимых и достаточных признаков искомых геометрических понятий.
• 3. Умение развернуть условие, получить систему его следствий, обнаружить за содержащимися в нем понятиями признаки искомого понятия.

Выделенные нами действия — результат логического анализа умения доказывать. Овладение данным умением предполагает усвоение этих действий учащимися.

Следует отметить, что действие подведения под понятие использовалось и в ранее проводившихся исследованиях, основывающихся на методике поэтапного формирования умственных действий. Однако это действие выступало лишь как средство формирования различных понятий [2], [3], [5]. В частности, в исследованиях, посвященных формированию начальных геометрических понятий [6], [14], проблема доказательства не выступала в качестве специального предмета исследования. Тем не менее среди этих работ есть две, которые имеют непосредственное отношение к интересующей нас проблеме.

В них была показана возможность переноса действия подведения под понятие в осложненные условия. Следовательно, результаты данных исследований говорят о существовании тесной связи между умением учащихся опираться на совокупность существенных признаков при подведении под понятие того или иного геометрического явления и умением решать задачи на доказательство.

В свете результатов проведенного нами анализа умения доказывать становится понятным содержание этой связи.

Вооружение учащихся знанием существенных признаков искомых геометрических понятий и умением подводить различные геометрические явления под понятие есть в то же время вооружение их компонентами умения доказывать. Следовательно, при встрече с задачами на доказательство испытуемые уже частично владели умением доказывать: они знали, что доказать — это значит установить, обладают ли данные фигуры системой необходимых и достаточных признаков искомых понятий.

Можно предположить, что задачи были бы решены еще более успешно (особенно во втором из изложенных исследований), если бы был отработан также и третий компонент умения доказывать. Чтобы проверить, правильно ли мы выделили основные компоненты умений доказывать, надо установить, будут ли способны учащиеся, овладевшие ими, самостоятельно доказывать теоремы и решать задачи на доказательство. Для этого, в свою очередь, необходимо обеспечить полноценное усвоение указанных компонентов.

Все это мы и сделали предметом нашего экспериментального исследования.

Методика При составлении методики мы исходили из основных положений теории формирования умственных действий и понятий, разработанной П. Я. Гальпериным и его сотрудниками.

В ряде конкретных исследований, посвященных формированию арифметических, грамматических и других знаний, было показано, что реализация методических принципов данной теории в обучении обеспечивает возможность управления процессом усвоения, т. е. позволяет целенаправленно и планомерно формировать знания в том их качестве, которое заранее намечено [4], [5] и др.

В качестве экспериментального материала мы взяли начальные геометрические задачи и теоремы на равенство.

В соответствии с изложенным выше нам необходимо было обеспечить:

• 1) усвоение учащимися действия подведения под понятие равенства и понимание ими того, что доказать — это и значит осуществить подведение под понятие равенство;
• 2) усвоение признаков равенства геометрических фигур;
• 3) овладение действием развертывания условий и умением находить в них необходимые и достаточные признаки равенства искомых фигур.

Испытуемыми в нашем эксперименте были 20 учащихся пятых классов средней школы (не знакомых с геометрией). По успеваемости состав испытуемых был следующим: 18 среднеуспевающих, один слабоуспевающий и один отличник.

Содержание обучающей части эксперимента и состояло в формировании этих компонентов умения доказывать. Но, чтобы подойти к их формированию, необходимо было предварительно сформировать у учащихся строго определенную систему начальных геометрических знаний и умений, на которых основываются выбранные нами теоремы и задачи. Содержание этой системы сводилось к формированию у учащихся следующих знаний и умений.

• 1. Учащиеся должны были усвоить начальные геометрические понятия: прямая линия, угол, треугольник, биссектриса угла, перпендикулярные прямые, прилежащие, смежные и вертикальные углы, а также углы накрест лежащие, соответственные и односторонние^[2].
• 2. Испытуемых было необходимо познакомить со свойствами смежных углов (равенство суммы смежных углов 180°) и свойствами прямой линии (прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками, через две точки можно провести прямую линию, и притом только одну).
• 3. Учащихся обучали действию с отрезками и углами.

Система предварительных знаний и умений отрабатывалась у учащихся также по методике формирования умственных действий. Так как эта методика подробно изложена в исследованиях П. Я. Гальперина и Н. Ф. Талызиной [6], [14], то мы не будем давать ее описания. Укажем лишь на главные моменты, обеспечивающие управление процессом формирования понятий.

1. Выбор адекватного действия.

В нашем исследовании, как и в ранее проведенных, таким действием было действие подведения геометрических явлений под формируемое понятие.

• 2. Нахождение исходной материальной (или материализованной) формы данного действия и построение действия в этой форме.
• 3. Раскрытие ученику состава операций данного действия, порядка их выполнения и правила оценки результатов полученных после выполнения действия.
• 4. Поэтапная отработка действия с целью перенесения его во внутренний (умственный) план.
• 5. Осуществление пооперационного контроля за действием на всех этапах его выполнения.
• 6. Специальный подбор материала, к которому должны применяться признаки формируемого понятия, а также установление последовательности предъявления этого материала учащимся.

После отработки системы предварительных геометрических знаний мы приступили к обучению учащихся умению доказывать. Обучение начиналось с формирования понятия геометрического равенства.

Средством формирования данного понятия (как и предварительных) являлось действие подведения различных фигур под понятие геометрического равенства. Все компоненты действия вначале задавались в материализованной форме, затем действие выполнялось в громкоречевой форме и, наконец, во внутреннем, умственном плане.

На всех этапах отработки данного действия контролировалось выполнение каждой отдельной его операции.

В качестве признаков равенства мы взяли следующие.

• 1. Две фигуры равны между собой, если при наложении они могут быть полностью совмещены.
• 2. Две фигуры, состоящие из равного количества отрезков, равны между собой, если при наложении все концы отрезков одной фигуры могут быть полностью совмещены с концами отрезков второй фигуры.
• 3. Две фигуры равны между собой, если каждая из них равна третьей геометрической фигуре.
• 4. Если из двух равных отрезков (или углов) вычесть по равному отрезку (или углу), то получатся два равных отрезка (или утла).
• 5. Если к двум равным отрезкам (или углам) прибавить по равному отрезку (или углу), то и получатся два равных отрезка (или угла).

При составлении системы признаков равенства мы стремились придать им такую форму, которая допускала бы возможность их применения к различным классам фигур.

Следует отметить, что в школьных учебниках геометрии целый ряд признаков равенства вообще не указывается, хотя доказательство очень многих теорем начального курса геометрии требует их знания и применения. К числу таких признаков можно отнести, например, следующие: две фигуры равны, если они порознь равны третьей фигуре; если к двум равным отрезкам (или углам) прибавить по равному отрезку (или углу), то получатся два равных отрезка (или угла). С другой стороны, некоторые признаки равенства вводятся лишь применительно к одному частному классу фигур, в то время как они применимы к нескольким. Например, такой признак, как совпадение концов отрезков, используется лишь для определения равенства отрезков, однако он может быть использован для определения равенства треугольников и многоугольников вообще.

Введение

обобщенных признаков исключает необходимость запоминания учащимися большого количества конкретных признаков равенства. Один и тот же признак равенства, заданный в обобщенной форме, может быть использован для доказательства разных по своему содержанию теорем, относящихся к совершенно различным разделам курса геометрии. Кроме выделения признаков геометрического равенства мы детально раскрывали учащимся также и операционную структуру действия подведения. Учащиеся получали четкие указания относительно того, какие операции и в какой последовательности они должны выполнять. Соответствующие указания давались также и относительно того, как нужно оценивать результаты действия с признаками равенства.

В ранее проведенных исследованиях, посвященных формированию начальных геометрических понятий, и при формировании системы предварительных понятий в данном исследовании испытуемые имели дело с конъюнктивной структурой признаков формируемых понятий. Испытуемые должны были при подведении того или иного геометрического явления под искомое понятие опираться всякий раз на всю совокупность его признаков.

Понятие геометрического равенства имеет дизъюнктивную структуру. Следовательно, чтобы определить, равны или нет заданные в условии фигуры, надо обнаружить в них хотя бы один из признаков равенства. Для этого необходимо осуществить последовательную проверку каждого признака с точки зрения возможности его применения к условиям той или иной теоремы.

В нашем исследовании испытуемым все признаки равенства предлагались одновременно. В связи с этим применению признака к условиям теоремы (или задачи) должен был предшествовать его выбор из системы эквивалентных признаков равенства. Действие выбора предполагает наличие специальной системы ориентиров, обеспечивающих успешность его осуществления. Однако при формировании понятия геометрического равенства нами подобного рода ориентиры не выделялись. Само действие выбора специально не формировалось.

Действие подведения, как и при формировании системы начальных геометрических знаний, вначале строилось во внешней (материализованной) форме. Признаки равенства столбиком и под соответствующими номерами выписывались на карточку. На отдельной карточке было выписано также и правило их применения. Что касается заданий, то их материализация имела аналогичный характер. На каждой карточке было написано одно задание, к которому был дан также чертеж.

Перенос действия подведения под понятие во внутренний (умственный) план осуществлялся посредством его поэтапной отработки. Последняя состояла в переводе действий из материализованной формы в громкоречевую, затем в план внешней речи про себя и, наконец, во внутренний (умственный) план.

На всех этапах усвоения действия подведения экспериментатором осуществлялся контроль за выполнением как отдельных его операций, так и действия в целом.

Формирование понятия геометрического равенства происходило на основе действия с признаками данного понятия. При этом выполнение операций по применению этих признаков к специально подобранным заданиям регулировалось специальным правилом.

При формировании данного понятия в нашем эксперименте испытуемые выполняли до 72 заданий.

Кроме заданий с полным составом условий учащимся были предложены задания с избыточным и неполным составом условий, а также такие, где избыток одних условий сочетался с недостатком других. В среднем учащимся было предложено от 12 до 15 заданий на применение каждого признака равенства. Примером таких заданий могут быть следующие: «Даны два равных отрезка: АВ и CD. Из отрезка АВ вычли отрезок КВ, а из отрезка CD — отрезок ED, равный отрезку КВ. Будут ли оставшиеся отрезки АК и СЕ равны между собой?», или: «Даны два угла: СЕК и МОВ. К углу СЕК прибавили угол КЕН, а к углу МОВ — угол АОВ, равный углу МОВ. Будут ли полученные углы СЕН и MOA равны между собой?» В среднем учащимся было предложено 12—15 заданий на применение каждого признака равенства. Отработка понятия геометрического равенства велась одновременно на отрезках и углах.

Формирование понятия геометрического равенства имело своим результатом усвоение учащимися двух компонентов умения доказывать: действия подведения под понятие равенства и системы конкретных признаков равенства.

Что касается третьего компонента умения доказывать — действия развертывания условий, то он формировался отдельно. Формирование его происходило по той же самой методике. Конкретное воплощение ее имело некоторое своеобразие, делающее необходимым более подробное описание методики формирования данного компонента.

Строя методику, мы исходим из следующих соображений.

Доказательство теоремы (или решение задачи на доказательство) в принципе может быть осуществлено путем последовательного развертывания условий, т. е. исчерпывающего выведения из него всех возможных следствий. Однако такой путь является слишком громоздким. Более того, строгое его проведение возможно скорее теоретически, чем практически, так как следствий из условия можно выводить почти бесконечное количество. Умение доказывать теоремы (или задачи) требует не только умения развертывать все подряд, но и вести поиск в определенном направлении, которое определяется спецификой содержания условия задачи или теоремы. Развертывание условий должно приводить учащегося к выявлению признаков искомого понятия наиболее коротким и экономным путем. В нашем эксперименте мы исходим из необходимости формирования у учащихся как умения вообще выводить следствия из условий, так и умения осуществлять дифференцированное, направленное их развертывание.

Вначале действие развертывания формировалось в общем виде. Анализ данного действия позволил нам выделить правило его выполнения. Оно представляло собой некоторую систему указаний, раскрывающую содержание и последовательность выполнения операций действия развертывания условий. Вот некоторые из этих указаний: укажи фигуры, о которых говорится в условии; перечисли все, что о них сказано; укажи, какие новые фигуры получаются из данных фигур; перечисли все, что ты еще о них знаешь.

по Правило было выписано на карточку, где каждый его пункт имел соответствующий порядковый номер. На этапе материализованного действия учащиеся должны были пользоваться данной карточкой, выполняя развертывание в строгом соответствии с расположением и содержанием каждого пункта правила. Выполнение каждого пункта правила жестко контролировалось экспериментатором. На данном этапе в распоряжении учащихся также находилась карточка с перечнем всех известных им фигур и отношений между ними.

Выполняя развертывание, учащиеся должны были осуществлять последовательную проверку наличия или отсутствия в условии задания фигур и отношений между ними, указанных на карточке. Последнее также тщательно контролировалось экспериментатором. На этапе громкой речи содержание действия оставалось тем же самым, однако форма его менялась. Теперь оно выполнялось в плане громкой речи и без опоры на карточки с правилом и перечнем фигур и их отношений.

Правильность выполнения каждого пункта правила и на данном этапе жестко контролировалась экспериментатором. На этапе «внешней речи про себя» мы лишь называли учащемуся номер пункта правила, требуя вспомнить его содержание и «про себя» применить к условиям задачи. Вслух учащийся должен был назвать только результат применения, по которому и осуществлялся контроль.

Этап «внутренней речи» характеризовался тем, что учащиеся «про себя» применяли все пункты правила, произнося вслух лишь окончательный результат. Контроль, таким образом, здесь осуществляется только по конечному результату выполнения действия развертывания.

Отработка данного действия велась в процессе выполнения учащимися специально подобранных заданий. Главная особенность этих заданий состояла в том, что в них признаки искомых понятий были заданы «скрыто», т. е. через систему других понятий. Например, предлагались такие задания: «Даны два равных смежных угла: COD и DOK. Что нам тем самым еще дано?»; «Из точки О исходят два луча: ОБ и ОС. Лучи пересечены прямой AD в точках Е и К. Известно, что образовавшиеся при этом углы ЛЕВ и CKD равны между Собой. Что нам еще тем самым дано?» Решение такого рода задач всякий раз требовало выявления скрытых данных, т. е. развертывания условийПоследнее составляло главное содержание выполнения подобного рода заданий, что и приводило к формированию действия развертывания.

Нами предъявлялись задания двух категорий в соответствии с двумя способами получения «скрытых» в их условиях данных:

• 1) Задания, в которых «скрытые» данные получаются как результат наличия в их условиях тех или иных геометрических фигур, обладающих (или не обладающих) частными особенностями (иллюстрацией такого рода заданий может являться первый из приведенных нами примеров).
• 2) Задания, в которых образование «скрытых» данных происходит как за счет наличия, так и за счет отношений фигур (или их элемен-

ш тов), данных в условиях. (Иллюстрацией может служить второй из приведенных нами примеров, в котором смежные, вертикальные углы и т. д. образуются в результате пересечения прямой AD лучей OB и ОС).

В большей части заданий требовалось определить, какие вообще фигуры (и их отношения) заданы при данных условиях. Искомым, таким образом, явились все известные учащимся фигуры, их свойства и отношения. И лишь в незначительной части заданий, которая предлагалась на начальных этапах обучения, нужно было установить наличие в условии задания только той или иной конкретной фигуры. (Например: «Дан треугольник ЕОМ. Из вершины Е выходит луч ЕВ, пересекающий сторону ОМ в точке К. Образовались ли при точке К смежные углы?»). В процессе выполнения заданий на развертывание учащиеся должны были не только указать наличие «скрытых» в условии фигур (а также их свойств и отношений), но и дать полное обоснование своего ответа. Последнее являлось одним из существенных критериев оценки степени правильности выполнения задания. В тех случаях, когда ответ был ошибочным или же когда он был правильным, но отсутствовала его аргументация, мы считали задание выполненным неправильно. Если же имело место лишь частичное развертывание условий или же ответ давался правильный, но какая-то часть его оставалась неаргументированной, то решение считалось неполным. Умение выполнять общее, недифференцированное развертывание считалось сформулированным тогда, когда учащиеся начинали как бы непосредственно усматривать «скрытое» содержание условий. Внешне это проявилось в том, что, едва закончив чтение условий, учащиеся сразу давали четкий и аргументированный ответ. Тогда мы переходили к формированию умения осуществлять дифференцированное развертывание, т. е. вести поиск искомого избирательно, а не путем последовательного выявления всего скрытого содержания условий. Строя методику, мы учитывали, что осуществление подобного рода поиска возможно лишь в том случае, если учащийся будет всякий раз руководствоваться некоторым представлением о том, где искать, т. е. образом поисковой ситуации. Естественно, что образы подобного рода должны быть у учащихся сформированы. Для формирования этих образов, а также самого умения осуществлять направленный поиск искомого мы выделили наборы «поисковых областей». Каждая поисковая область представляла собой некоторую типичную «геометрическую ситуацию», развертывание которой обязательно приводит к выявлению признаков искомого понятия. Так, например, в условие задания в «явной форме» могут входить такие понятия, как «прямой угол», «равные смежные углы» или «биссектриса развернутого угла». Каждое из указанных понятий содержит в себе наряду с другими понятиями понятие «перпендикулярные прямые». Указанные три понятия, таким образом, могут выступать в качестве поисковых областей, т. е. типичных геометрических ситуаций, ориентирующих поиск понятия «перпендикулярные прямые». В приведенном примере «прямой угол», «равные смежные углы» и т. д. — отдельные фигуры, развертывание которых обязательно приводит к выявлению признаков перпендикулярных прямых. Разумеется, «поисковой областью» может являться и группа фигур, связанных определенным отношением друг с другом.

«Поисковые области» учащиеся выделяли самостоятельно. Это достигалось постановкой перед ними системы задач-вопросов, в которых требовалось задать ту или иную фигуру таким образом, чтобы не было названия этой фигуры и ничего не говорилось бы «в явной форме» о ее признаках. (Например: «Как можно задать угол, чтобы ничего не говорилось о признаках угла, а также отсутствовало бы само слово „угол“»?).

Решение этих задач сводилось, таким образом, не к выведению следствий из заданных по условию понятий (как это было в заданиях на «развертывание»), а, наоборот, к выбору оснований, т. е. фигур, из которых заданные по условию фигуры вытекали бы в качестве их следствий.

Принцип выбора был следующим: искать такую фигуру (или группу фигур, находящихся в определенном отношении), которая содержала бы в себе признаки искомой фигуры.

Мы требовали от учащихся объяснения того, почему «развертывание» поисковых областей, которые они выделяли, действительно приводит к обнаружению признаков искомых понятий. Знание того, в каких «геометрических ситуациях» содержатся те или иные фигуры, делает эти ситуации своего рода признаками, по которым учащиеся могут быстро установить наличие в условии задания искомой геометрической фигуры.

Так, например, при развертывании они могли уже не давать всякий раз полное объяснение того, почему в условии задания содержатся признаки искомой геометрической фигуры. Вместо этого теперь достаточно простого указания на наличие в условии задания «геометрической ситуации», соответствующей искомому понятию. Естественно, что все это не могло не привести к резкому сокращению всего процесса развертывания. Последнее явилось следствием, с одной стороны, невыполнения учащимися целого ряда операций данного действия, которые теперь только имелись в виду, с другой — того, что процесс развертывания приобретал избирательный характер. Так как методика формирования умения осуществлять избирательное «развертывание» оставалась той же самой, мы опускаем ее описание. Отметим только, что «поисковые области» для каждого понятия выписывались на отдельных карточках. «Развертывание» на этапе «материализованного» действия осуществлялось учащимися с опорой на эти карточки. Задания, на материале которых формировалось умение развертывать условия с опорой на «поисковые области», были несколько осложнены по сравнению с теми заданиями, которые учащимися предъявлялись при формировании умения «развертывать» условия в общем виде. Осложнение этих заданий было осуществлено не за счет увеличения степени опосредованность признаков искомых понятий, а за счет увеличения количества скрытых данных в условиях этих заданий.

пз Для отработки действия «развертывания» учащиеся должны были выполнить в общей сложности 18—20 заданий. Усвоение учащимися всех трех компонентов должно было дать нам ответ на вопрос, действительно ли выделенные нами компоненты являются основными компонентами умения доказывать. Если это так, то усвоившие их учащиеся должны были самостоятельно решать задачи на доказательство равенства и доказывать теоремы на равенство.

С целью проверки данного предположения в контрольной серии эксперимента испытуемым для самостоятельного доказательства были предложены следующие теоремы: 1) теорема о равенстве двух треугольников по двум сторонам и углу между ними; 2) теорема о равенстве треугольников по стороне и прилежащим к ней углам; 3) теорема о равенстве углов с соответственно перпендикулярными сторонами;

4) теорема о равенстве вертикальных углов.

Кроме перечисленных испытуемым была предложена также теорема о перпендикулярности биссектрис двух смежных углов и задача на доказательство: «Даны смежные углы АОВ и ВОС. Внутри угла АОВ проведена биссектриса ОН. Из вершины смежных углов к биссектрисе ОН восстановлен перпендикуляр ОК. Будет ли перпендикуляр ОК биссектрисой угла ВОС?» Выполнение двух последних контрольных заданий (теоремы о перпендикулярности биссектрис смежных углов и задачи на доказательство) также требовало установления равенства. Однако равенство фигур в них не являлось искомым. Оно выступало здесь в качестве средства нахождения искомого.

Отметим, что все предъявленные нашим испытуемым теоремы, а также задача до этого известны им не были. Организуя усвоение трех компонентов умения доказывать, мы исходили из того, что указанные компоненты представляют собой действия и знания, входящие в умение доказывать. Однако реальный процесс доказательства требует, чтобы содержание этих компонентов применялось в строго определенной последовательности, т. е. в соответствии со структурой самого процесса доказательства. Исходя из этого, мы предложили нашим испытуемым руководствоваться в процессе выполнения контрольных заданий специальным правилом, которое состояло из следующих пунктов: 1) выдели то, что дано в условии; 2) укажи, что требуется доказать;

• 3) назови все признаки, по которым можно доказать то, что требуется;
• 4) укажи, как еще эти признаки могут быть заданы («скрыты») в условии; 5) сравни каждый из признаков с условием и выбери тот из них, который будет использован при доказательстве; 6) назови признак, который нужно использовать для доказательства; 7) объясни, почему ты считаешь, что он есть в условии.

Пункты правила представляли собой, таким образом, некоторую систему указаний о действиях, которые должны выполнять учащиеся.

Результаты обучающей серии Результаты формирования системы предварительных понятий в целом совпадают с теми, которые были получены в ранее проведенных исследованиях, посвященных формированию начальных геометрических понятий [6], [14].

Подавляющее большинство предложенных испытуемым задач было решено правильно.

Результаты формирования понятия «геометрическое равенство», которое было в нашем исследовании основным, были следующими.

С решением задач на определение равенства испытуемые справились успешно. Из 1440 предложенных задач 1371 задача, т. е. 95%, были решены абсолютно правильно и лишь при решении 69 задач, что составляет 4,8%, были допущены ошибки.

Приведем примеры, иллюстрирующие типичный ход решения задач. Задача № 3: «Два отрезка АВ и СП равны между собой. Из отрезка АВ вычли отрезок КВ, а из отрезка СП вычли отрезок ОД равный отрезку КВ. Будут ли оставшиеся отрезки равны между собой?» (К задаче дан адекватный условию чертеж.).

Испытуемый Р. И. читает вслух условие задачи, первый признак равенства, а затем говорит: «Здесь не подходит первый признак, так как здесь нет наложения (после прочтения второго признака): второй тоже не подходит».

Экспериментатор. «Почему ты так считаешь?».

Испытуемый читает вслух второй признак равенства, затем говорит:

«В нем сказано, что фигуры равны, если концы отрезков совпадают при наложении. В условии про наложение не сказано. В нем отрезки вычитаются». Затем говорит: «Две геометрические фигуры равны, если каждая равна третьей геометрической фигуре, а в условии об этом ничего не говорится. Тут нет третьей геометрической фигуры». Читает четвертый признак вслух, затем говорит: «В условии говорится, что два отрезка АВ и СП равны между собой и из них вычли по равному отрезку, значит, остались равные. Здесь подходит четвертый признак. Отрезки АТС и СО будут равны».

Как видно из приведенного примера, решение задачи сводилось к подведению заданного в условии конкретного случая равенства под один из признаков равенства. Чтобы осуществить это подведение, испытуемый должен был вначале выбрать из системы признаков тот, который может быть использован в данном конкретном случае. Поиск признака, как это видно из приведенного примера, протекал в максимально развернутой форме. Он имел вид последовательной и систематической проверки условия на наличие в нем хотя бы одного из необходимых и достаточных признаков равенства.

Следует отметить, что испытуемые довольно быстро (после решения трех-четырех задач) запоминали признаки, а также усваивали принцип действия с ними. Действие приобретало большую самостоятельность. Сам процесс решения приобретал все более сокращенный характер.

Задача № 11: «На прямой линии МК отложены два равных отрезка: МО и СК. Отрезок СК отложен так, что точка С расположена между точками М и О отрезка МО. Будут ли отрезки МС и ОК равны между собой?» (К задаче дан чертеж, не адекватный условию: отрезок СК был больше отрезка МО.).

Испытуемый Б. Н. читает условие задачи, затем говорит: «Здесь решать по четвертому признаку надо (вслух читает четвертый признак равенства). От отрезка МК надо отнять отрезок СК и останется отрезок МС. Потом от того же отрезка МК отнять отрезок МО, равный отрезку СК, и останется отрезок ОК. Отрезки МС и ОК будут равны, потому что мы от одного и того же отрезка отнимали два равных отрезка и остались равные». Затем испытуемый говорит: «Здесь можно и по-другому решать». Экспериментатор спрашивает: «Как же?» На это ученик отвечает: «Тоже по четвертому признаку, только другие отрезки брать. От отрезка МО отнять отрезок СО, а затем от СК отнять тот же отрезок СО. Получатся равные отрезки — МС и СК. От двух равных мы отнимали один и тот же, остаются равные».

Таким образом, процесс поиска теперь уже носит сокращенный характер. Как видно из приведенного примера, испытуемый сразу же после прочтения условия правильно указывает признак, под который нужно подвести условие, после чего следует само подведение.

Что касается третьего компонента — действия получения следствий (действия «развертывания» условий), то результаты формирования умения развертывать условия у испытуемых были следующими.

Из 200 задач, предложенных испытуемым, правильно решено 192, т. е. 96%. В восьми случаях (которые составляют 4%) испытуемые дали неполные решения. Не было случая, когда испытуемые вообще не справлялись с развертыванием условий.

Приведем наиболее типичные примеры решений задач на развертывание условий.

Задача № 2. «Даны два равных смежных угла: СОВ и BOD. Что нам тем самым еще дано?».

Испытуемый М. Т. читает условие задачи, затем первый пункт правила развертывания (укажи фигуры, о которых говорится в условии). Затем говорит: «Здесь говорится о смежных углах: СОВ и BOD». После этого читает второй пункт правила (назови все, что о них сказано) и говорит: «Сказано, что эти смежные углы равны между собой». Читает третий пункт правила (укажи, какие новые фигуры получаются из данных фигур). Испытуемый берет перечень известных ему фигур и по порядку проверяет, содержатся они или нет в условии данной задачи: «Прямая линия есть. CD — прямая линия. Это смежные углы, а у них необщие стороны образуют прямую линию. Еще луч ОВ есть, а он часть прямой, значит, еще одна прямая дана нам».

Затем диалог развертывается так:

Экспериментатор. Дальше.

Испытуемый. Луч дан. Целых три луча. ОС, ОВ и 00. Отрезков прямой нет. Здесь только лучи. Углов здесь много дано. Экспериментатор. Какие?

Испытуемый. Развернутый угол есть COD. Их два. Экспериментатор. Почему они развернутые?

Испытуемый. Потому что это смежные углы, а они в сумме составляют 180°. Два прямых угла даны: СОВ и BOD, они будут прямые, так как сказано, что даны равные смежные углы… (пауза). Здесь даже будут четыре прямых угла.

Экспериментатор. Какие?

Испытуемый. ОБ —луч, но если мы прямую продолжим и поставим здесь, например, букву X, то получатся еще прямые углы: СОХ и XOD. Треугольников здесь нет.

Экспериментатор. Почему?

Испытуемый. Треугольник — замкнутая фигура, а здесь углы, они не замкнуты. Еще есть перпендикуляр, так как прямые CD и ВХ перпендикулярны друг другу. Они пересекаются под углом 90°. Смежные углы нам также даны, о них в условии сказано.

Экспериментатор. Дальше.

Испытуемый. Прилежащие углы даны, так как все смежные есть прилежащие. Вертикальных углов здесь нет… (пауза). Вообще-то и вертикальные даны, если продлить прямую сюда (показывает на чертеже прямую, частью которой является луч ОВ), то получатся вертикальные углы: СОВ и XOD и еще BODhXOC.

Экспериментатор. Почему они будут вертикальными?

Испытуемый. Потому что СОВ и XOD — два угла, у них общая вершина есть и общий смежный угол ХОС или угол BOD можно взять. Для углов СОХ и BOD общим смежным углом будет угол XOD или СОВ.

Что касается других фигур (а также свойств и отношений между ними), то на этапе «материализованного» действия выявление их наличия (или отсутствия) в условии осуществлялось испытуемым аналогичным образом.

Приведенный нами протокол свидетельствует о том, что процесс выведения следствий протекал очень развернуто. Однако такой характер он носил лишь на первоначальных этапах отработки данного действия, когда от испытуемых мы требовали всякий раз полного обоснования наличия тех или иных «скрытых» условий. В дальнейшем, однако, это требование постепенно снималось. Вначале оно распространялось лишь на те понятия, в отношении которых у нас не было полной уверенности в том, что испытуемые сумеют их наличие в условии правильно обосновать, а затем устранялось полностью. Возможность такого устранения основывалась на том, что понятия, с которыми испытуемые сталкивались в процессе развертывания, уже ранее многократно ими выявлялись в самых различных геометрических ситуациях. Испытуемые,.

таким образом, могли теперь ограничиваться простым перечислением «скрытых данных» условия без какого-либо обоснования их наличия в нем. Естественно, что все это не могло не привести к значительному преобразованию действия развертывания, которое на заключительном этапе его формирования приобретало вид сокращенного, обобщенного и автоматизированного умственного действия.

Примером того, как протекало «развертывание» на этапе умственного действия, является следующий протокол решения.

Задача № 9. «Дан треугольник СНВ. Угол при вершине С прямой. Из вершины С выходит луч СК, составляющий одну прямую линию со стороной СВ данного треугольника. Перечислить все, что нам еще тем самым дано?» (К задаче дан адекватный условию чертеж.).

Испытуемый А. К. читает условие задачи, затем говорит: «Отрезки, лучи, прямые линии даны. Еще два прямых угла даны: угол НСВ, он по условию прямой, и угол ИСК. Смежные углы: КСН и НСВ, биссектриса, потому что смежные углы равны».

Экспериментатор «Что будет биссектрисой?».

Испытуемый. «СИ. Вертикальные углы, если продлить эту сторону (показывает на чертеже сторону СН). Поставим здесь букву X, тогда вертикальными будут углы КСН и ХСВ или НСВ и КСХ. Смежных тогда тоже будет больше. Если все стороны треугольника продлить, то много получится вертикальных и смежных углов. Да, еще забыл сказать про перпендикулярные прямые. Угол НСВ — прямой, значит, НС-^КВ».

Аналогичным образом протекало выявление испытуемым и других «скрытых» условий.

При переходе испытуемых к «развертыванию» с ориентировкой на поисковые области вначале мы также требовали обоснования наличия тех понятий, которые испытуемые выявляли в условиях.

Протокол, который мы ниже приводим, является типичным примером хода процесса развертывания в этих случаях.

Задача № 9. «Из точки О исходят четыре луча: ОА, ОВ, ОС и 00. Лучи пересекает прямая ЕХ в точках Я, К, М, и Р. Известно, что угол АОВ = = углу ЭСО, НМ = КР. Перечислить все, что нам еще дано?» (К задаче дан адекватный условию чертеж.).

Испытуемый С. М. читает условие задачи, затем говорит: «Вертикальные углы даны, т. е. прямые пересекаются. Тут много вертикальных углов. Называть их?».

Затем происходит следующий диалог:

Испытуемый. Если два луча исходят из одной точки и пересекаются прямой линией, то треугольник всегда будет.

Экспериментатор. Назови их.

Испытуемый (правильно называет). Не четыре, а шесть треугольников дано, я вот эти забыла (показывает на чертеже треугольники НОМ и КОР). Еще отрезки равны будут.

Экспериментатор. Какие?

Испытуемый. НМ равно КР по условию, отрезки НК и РМ будут также равны по четвертому признаку, так как здесь в состав двух равных отрезков входят два равные. Еще углы АОВ и COD равны, значит, угол АОС будет равен углу BOD. Здесь пятый признак. Эти утлы состоят из равных углов.

Выявление испытуемыми других «скрытых» условий протекало аналогично.

«Развертывая» условие с опорой на поисковые области, испытуемые, таким образом, обосновывали наличие в условии в «скрытой» форме целого ряда геометрических понятий. Как это видно из приведенного примера, обоснование теперь сводилось к простому указанию на наличие в условии задачи «геометрических ситуаций», соответствующих искомым понятиям. В дальнейшем, однако, мы постепенно переставали требовать от испытуемых указания этих ситуаций сначала по отношению к некоторым, а затем и ко всем «скрытым» в условиях понятиям.

В целом же успешное выполнение подавляющего большинства заданий, предложенных в обучающей серии, дает нам основание предполагать, что основная цель данной серии эксперимента достигнута: наши испытуемые усвоили все три компонента умения решать задачи на доказательство, а также научились доказывать теоремы, основным содержанием которых является установление равенства фигур.

• [1] Под логической структурой признаков понятия мы понимаем внутренние отношения между этими признаками, определяемые логическим союзом, посредством которого они связаны между собой.
• [2] Формирование понятий о накрест лежащих, соответственных и одностороннихуглах было связано с некоторыми дополнительными задачами, поставленными в данном эксперименте. Подробно об этом будет сказано ниже.