Графическое изображение рядов распределения

Для анализа рядов распределения чаще всего используют их графическое изображение, которое позволяет судить о форме распределений единиц совокупности по значениям группировочного признака.

Для изображения дискретных рядов распределения используется линейная диаграмма, которая называется полигоном распределения. Он представляет собой замкнутый многоугольник, абсциссами вершин которого являются значения варьирующего признака, а ординатами — соответствующие им частоты или частости. Крайние точки полученного графика соединяют с точками по оси абсцисс, отстающими на одно деление в принятом масштабе от минимального и максимального значения вариант.

Построим полигон по данным дискретного ряда распределения работников по стажу работы (см. табл. 4.1) и представим его на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Полигон распределения персонала по стажу работы

Полигон может быть построен и для интервального вариационного ряда распределения, для этого в качестве координат по оси абсцисс используют середины интервалов. Но чаще всего для изображения интервальных рядов распределения используют гистограммы, в которых основания столбцов равны величине интервалов, а высота столбцов соответствует их частоте.

Гистограмма может быть преобразована в полигон распределения, если найти середины верхних сторон прямоугольников и затем эти точки соединить прямыми линиями. При этом середины сторон крайних прямоугольников соединяют с осью абсцисс в точках, отстоящих в принятом масштабе на величину интервалов от середины первого и последнего интервалов.

Построим гистограмму и полигон по данным интервального ряда распределения работников по стажу работы (см. табл. 4.2) и представим их на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Гистограмма и полигон распределения персонала по стажу работы.

Следует отметить, что любая гистограмма дает лишь приближенную картину распределения, гак как выражает зависимость между значениями признака и их частотами в грубой форме в соответствии со своей системой интервалов. Если же нужно определить частоту признака не для интервала, а для отдельного значения, то этого сделать нельзя. Например, используя построенную гистограмму, невозможно дать ответ, сколько работников имеют стаж работы 6 лет.

Кроме того, при переходе от одного интервала к другому на гистограмме получается скачок, выражающийся в виде «лестницы». Особенно это заметно, если ряд распределения состоит из небольшого числа групп. Чтобы сделать скачки менее заметными, необходимо уменьшить интервалы и, следовательно, увеличить число групп, т. е. перейти от крупноступенчатой гистограммы к мелкоступенчатой. По мере увеличения числа групп получается все более и более точная характеристика распределения. Наиболее точный закон распределения дает кривая распределения.

В статистике выделяют два основных типа кривых распределения: нормальный и асимметричный.

Нормальное распределение (термин был впервые введен Ф. Гальтоном в 1889 г.) иногда называемое гауссовским, можно представить в виде симметричной кривой в форме колокола (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Кривая нормального распределения

Кривая нормального распределения представляет собой идеальный набор данных, когда отклонения от среднего значения в одну сторону встречаются так же часто, как и отклонения в другую сторону. Например, распределение роста большого числа людей одного и того же возраста и пола будет графически отображаться в виде нормальной кривой. Это связано с тем, что люди ростом выше среднего встречаются с такой же частотой, что и люди небольшого роста.

Если возьмем распределение партии стограммовых конфет по весу, то увидим, что это распределение также будет приближаться к нормальному. В каждом отдельном случае вес конфеты может и не совпадать с эталоном, но по мере удаления от него число случаев этого несовпадения будет все меньше и меньше, независимо от того, идет ли речь о несоответствии эталону в большую или меньшую сторону.

Нормальное распределение играет большую роль в статистике, так как только в случае распределения, близкого к нормальному, можно использовать стандартные статистические процедуры, в противном случае полученные результаты анализа данных могут быть неточными или неверными.

В области социально-экономических явлений гораздо чаще встречаются асимметричные кривые распределения (рис. 4.4.).

Рис. 4.4. Асимметричные кривые распределения

Примером правосторонней асимметрии является распределение пассажиров метро по дальности поездки (рис. 4.5). Примером левосторонней асимметрии выступает распределение частоты посещения музеев по дням недели.

Рис. 4.5. Распределение пассажиров метро по дальности поездки (правосторонняя асимметрия)

Также встречается двухвершинное распределение (рис. 4.6). Наличие такого распределения говорит о том, что совокупность неоднородная и отображает два качества, каждое из которых дает свою вершину. Например, двухвершинное распределение можно получить при изучении смертности населения, так как в расчете на 1000 человек в младенчестве и в старости смертность выше, чем в каком-либо другом возрасте.

Рис. 4.6. Двухвершинное распределение

Несимметричное распределение можно преобразовать в более симметричное. Наиболее распространенным типом преобразования данных в экономике является логарифмирование, которое заключается в замене каждого значения ряда данных его десятичным или натуральным логарифмом.

Кроме полигона и гистограммы, для изображения рядов распределения применяют кумуляту (кривая «меньше, чем») и огиву (кривая «больше, чем»).

При построении кумулятивной кривой или кумуляты вариационного ряда по оси абсцисс откладываются варианты ряда, а по оси ординат накопленные частоты (частости). Накопленные частоты (5,) получаются последовательным суммированием (кумуляцией) всех частот ряда: 5, = /,; S₂ = S + /₂; S-, = S₂ + /₃ и т. д. Они показывают, сколько единиц совокупности имеют значение признака не больше, чем рассматриваемое.

Построим кумулятивную кривую для рассмотренного выше примера распределения работников по стажу работы (см. табл. 4.1) и представим ее на рис. 4.7.

Рис. 4.7. Кумулята распределения работников по стажу работы.

Для этого определим накопленные частоты для каждой группы ряда (табл. 4.3).

Таблица 4.3

Расчет накопленных частот для ряда распределения работников организации по стажу работы.

При построении кумулятивной кривой интервального вариационного ряда на оси абсцисс откладываются варианты ряда, а на оси ординат — накопленные частоты. При этом нижней границе первого интервала соответствует нулевая частота (5₀), верхней — частота всего интервала (б) = /,); нижней границе второго интервала соответствует частота первого ин тервала (5j = /Д, а верхней — накопленная частота первого и второго интервалов (б₂ = 5j + /₂) и т. д. Верхней границе последнего интервала, таким образом, должна соответствовать сумма всех частот ряда, что соответствует общей численности изучаемой совокупности (S_n = Е/= п).

При построении огивы вариационного ряда по оси абсцисс откладываются накопленные частоты, а по оси ординат — варианты ряда.

Построим огиву для рассмотренного выше примера распределения работников по стажу работы (см. табл. 4.1) и представим ее на рис. 4.8.

Рис. 4.8. Огива распределения работников по стажу работы Типовая задача 4.1.

Известны данные о деятельности 100 туристских предприятий региона (табл. 4.4).

Таблица 4.4

Объем реализации туров туристскими предприятиями региона, млн руб.

• 1. Постройте интервальный вариационный ряд распределения.
• 2. Дайте графическое изображение ряда в виде гистограммы, кумуляты и огивы.

Сделайте выводы.

Решение

1. Построение интервального вариационного ряда производится по тем же правилам, что и группировка данных.

Для удобства работы с исходными данными проведем ранжирование туристских предприятий по объему реализации туров. Данные расположим в возрастающем порядке (табл. 4.5).

Таблица 45

Ранжирование исходных данных.

Число групп определим по формуле Стерджесса: Определим величину интервала групп по формуле.

Определим нижнюю и верхнюю границы интервала для каждой группы.

Прибавляя к минимальному значению признака (в данном случае 76,3 млн руб.) найденное значение интервала, получаем верхнюю границу первой группы: 76,3 + 6,1 = 82,4.

Прибавляя далее величину интервала к верхней границе первой группы, получаем верхнюю границу второй группы: 82,4 + 6,1 = 88,5 и т. д.

В результате получим следующие группы туристских предприятий по объему реализации туров (табл. 4.6).

Таблица 4.6

Группы туристских предприятий по объему реализации туров.

Распределим исходные данные, но полученным группам (табл. 4.7).

Таблица 4.7

Распределение ранжированных данных по группам.

Построим итоговую таблицу, характеризующую структуру распределения туристских предприятий по объему реализации туров (табл. 4.8).

Таким образом, построенный ряд распределения туристских предприятий по объему реализации туров показывает, что для данного вида деятельности характерны предприятия с объемом реализации туров от 94,6 млн до 100,7 млн руб.

2. Изобразим построенный вариационный ряд распределения графически.

Построим гистограмму по данным интервального ряда распределения туристских предприятий по объему реализации туров (см. табл. 4.8) и представим их на рис. 4.9.

Таблица 4.8

Интервальный ряд распределения туристских предприятий по объему реализации туров.

Рис. 4.9. Гистограмма распределения туристских предприятий по объему

реализации туров Построим кумулятивную кривую для интервального ряда распределения туристских предприятий по объему реализации туров (см. табл. 4.8) и представим ее на рис. 4.10.

Для этого определим накопленные частоты для каждой группы ряда (табл. 4.9).

в) Построим огиву для интервального ряда распределения туристских предприятий по объему реализации туров (см. табл. 4.8) и представим ее на рис. 4.11.

Рис. 4.10. Кумулятивная кривая распределения туристских предприятий по объему реализации туров.

Рис. 4.11. Огива распределения туристских предприятий по объему реализации туров.

Таблица 4.9

Расчет накопленных частот для ряда распределения туристских предприятий по объему реализации туров.

Вопросы и задания для самоконтроля

• 1. Для чего в статистике используются ряды распределения? Что они собой представляют?
• 2. Какие виды рядов распределения вы знаете?
• 3. Перечислите виды графического представления рядов распределения.
• 4. Какие формы распределения данных применяются в статистике?
• 5. Каково назначение анализа форм распределения данных?